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《高等数学电子教案：第3章 微分中值定理与导数的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、章节第三章微分中值定理与导数的应用§1微分中值定理课时2教学目的掌握三个中值定理的内容教学重点及突出方法中值定理的证明教学难点及突破方法利用中值定理证明的技巧。相关参考资料《高等数学（第一册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社《大学数学概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社教学过程教学思路、主要环节、主要内容在给出微分学中值定理的数学定义之前，我们先从几何的角度看一个问题，如下：设有连续函数，a与b是它定义区间内的两点(a＜b＝，假定此函数在(a,b)处处可导，也就是在
2、(a,b)内的函数图形上处处都由切线，那末我们从图形上容易看到， 差商就是割线AB的斜率，若我们把割线AB作平行于自身的移动，那么至少有一次机会达到离割线最远的一点P(x=c)处成为曲线的切线，而曲线的斜率为，由于切线与割线是平行的，因此 成立。 注：这个结果就称为微分学中值定理，也称为拉格朗日中值定理罗尔定理 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a,b)内至少有一点，使得函数f(x)在该点的导数等于零：。拉格
3、朗日中值定理 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么(a,b)内至少有一点，使等式(1)成立。柯西中值定理 如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且F’(x)在(a,b)内的每一点处均不为零，那么在(a,b)内至少有一点，使等式(2)成立。例题：证明方程在0与1之间至少有一个实根 证明：不难发现方程左端是函数的导数： 函数在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且，由罗尔定理 可知，在0与1之间至少有一点c，使，即
4、 也就是：方程在0与1之间至少有一个实根章节第三章微分中值定理与导数的应用§2洛必达法则课时2教学目的掌握利用洛必达法则法则求极限的方法教学重点及突出方法利用洛必达法则法则求极限教学难点及突破方法利用洛必达法则法则求极限相关参考资料《高等数学（第一册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社《大学数学概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，教学过程教学思路、主要环节、主要内容对于函数f(x),g(x)来说，当x→a(或x→∞)时，函数f(x),g(x)都趋于零或无穷大， 则
5、极限可能存在，也可能不存在，我们就把式子称为未定式。分别记为型。我们容易知道，对于未定式的极限求法，是不能应用"商的极限等于极限的商"这个法则来求解的，那么我们该如何求这类问题的极限呢？ 下面的洛必达(L'Hospital)法则，它就是这个问题的答案 注：它是根据柯西中值定理推出来的。洛必达(L'Hospital)法则： 当x→a(或x→∞)时，函数,都趋于零或无穷大，在点a的某个去心邻域内(或当│x│＞N)时，与都存在，≠0，且存在 则：=证明思路:补充定义x=a处f(x)=g(x)=0则[a,a
6、+)上==即x时,x,于是=这种通过分子分母求导再来求极限来确定未定式的方法，就是所谓的洛必达(L'Hospital)法则 注：它是以前求极限的法则的补充，以前利用法则不好求的极限，可利用此法则求解。注：罗彼塔法则只是说明：对未定式来说，当存在，则存在且二者的极限相同；而并不是不存在时，也不存在，此时只是说明了罗彼塔法则存在的条件破绽。定理推广:由证明过程显然定理条件x可推广到x,x,x。所以对于待定型,可利用定理将分子、分母同时求导后再求极限。注意事项:1.对于同一算式的计算中,定理可以重复多次使用。2
7、.当算式中出现Sin或Cos形式时,应慎重考虑是否符合洛必达法则条件中与的存在性。向其他待定型的推广。另外，若遇到、、、、等型，通常是转化为型后，在利用法则求解。章节第三章微分中值定理与导数的应用§3泰勒公式课时2教学目的掌握泰勒公式教学重点及突出方法泰勒公式及函数单调性的判别法教学难点及突破方法泰勒公式的展开相关参考资料《高等数学（第一册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社《大学数学概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社教学过程教学思路、主要环节、主要内容在x=附近关
8、于点的泰勒公式：在x=0处的关于x的泰勒展开公式.即:（麦克劳林公式）注意:虽然泰勒公式是在x="附近"展开,但是事实上x可以取f(x)定义域内任意值,只不过若
9、x-
10、过大(即x离过远)时,相应变大.即使用代替f(x)的误差变大.可是,无论如何泰勒公式总是成立的,当固定后,不同的x将使发生变化,并使变化,从而影响对f(x)的近似精度.章节第三章微分中值定理与导数的应用§4函数单调性与曲线的凸凹性课时2教学目的掌握
