微分中值定理与导数的应用教案

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1、第三章中值定理应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式(第三节)推广微分中值定理与导数的应用回顾闭区间上连续函数的性质1.有界性与最大值最小值定理：在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值。推论：在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.2.零点定理：3.介值定理：一、罗尔(Rolle)定理第一节二、拉格朗日(Lagrange)中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理第三章函数在一点的导数描述了函数在某一点

2、的变化性质—变化率，它是函数在该点的一个局部性质。有时候，我们要研究函数在整个定义域上的变化形态，这就是要了解函数在其定义域上的整体性质。函数的局部性质与整体性质是通过中值定理表达的。这些中值定理是微分学的基础，它联系着导数的许多应用。费马(fermat)引理一、罗尔(Rolle)定理且存在证:设则费马证毕●●这说明：在极大值或极小值点处,函数的导数为0.几何意义是：在极值点处的切线平行于AB的连线或x轴.典型情形的证明思想●中值定理演示（1）可微函数在区间内部取极值的必要条件是函数在该点的导数值为零.通常

3、称导数为零的点为函数驻点（或称为稳定点，临界点）。罗尔（Rolle）定理满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)使证:故在[a,b]上取得最大值M和最小值m.若M=m,则因此在(a,b)内至少存在一点若M>m,则M和m中至少有一个与端点值不等,不妨设则至少存在一点使注意:1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.则由费马引理得例如,使2)定理条件只是充分的.本定理可推广为在(a,b)内可导,且在(a,b)内至少存在一点证明提示:设证F(x)在[a,b]上满足罗尔

4、定理.练习1：P1341由罗尔定理可知：又例1.证明方程有且仅有一个小于1的正实根.证:1)存在性.则在[0,1]连续,且由介值定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点但矛盾,故假设不真!设练习2：P1347证:令若方程有一个正根，证明方程必有一个小于的正根.并指出它们所在的区间。分别在区间(1,1),(1,2),(2,3)内。证：显然,f(x)分别在闭区间[1,1],[1,2],[2,3]上连续，5.设函数f(x)=(x+1)(x1)(x2)(

5、x3)，证明方程f(x)=0有三个实根，且f(1)=f(1)=f(2)=f(3).由罗尔定理，在(1,1),(1,2),(2,3)内分别存在点1,2,3，使得f(1)=f(2)=f(3)=0即方程f(x)=0有三个实根，在开区间(1,1),(1,2),(2,3)内可导，二、拉格朗日中值定理(1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且证:问题转

6、化为证由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立.拉氏证毕拉格朗日中值定理的有限增量形式:推论:若函数在区间I上满足则在I上必为常数.证:在I上任取两点格朗日中值公式,得由的任意性知,在I上为常数.令则例2.证明等式证:设由推论可知(常数)令x=0,得又故所证等式在定义域上成立.自证:经验:欲证时只需证在I上分析且,证：练习3：P13414例3.证明不等式分析：欲证上述不等式成立，只须证：只须证：为此只须证：关键！构造例3.证明不等式证:设中值定理条件,即因为故因此应有用拉格朗日定理证明不等式的关键是构造一个辅

7、助函数,并定出一个适当的区间,使该辅助函数在区间上满足定理的条件,然后由中值ξ所在的位置,放大或缩小,推出要证的不等式.方法：设辅助函数、选区间、应用定理、放大缩小放大或缩小构造有关的函数确定应用区间应用Lagrange定理计算导数后的等式转化为不等式解题思路：练习4：P1349设，证明:证:设中值定理条件,即因此即因此应有又01,所以bn1<n1

8、足拉格朗日中值定理条件.由于，因此即练习4：P13411(2)三、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使满足:问题转化为证柯西构造辅助函数证:作辅助函数且使即由罗尔定理知,至少存在一点思考:柯西定理的下述证法对吗?两个不一定相同错!上面两式相比即得结论.柯西定理的几何意义:注意:弦的斜率切线斜率例4.设至少存在一点