“北约”自主招生数学试题及解答(2010-2012)

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1、2010年“北约”自主招生数学试题及解答1．（仅文科做），求证：．【解析】不妨设，则，且当时，．于是在上单调增．∴．即有．同理可证．，当时，．于是在上单调增。∴在上有。即。注记：也可用三角函数线的方法求解．2．为边长为的正五边形边上的点．证明：最长为．（25分）【解析】以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．⑴当中有一点位于点时，知另一点位于或者时有最大值为；当有一点位于点时，；⑵当均不在轴上时，知必在轴的异侧方可能取到最大值（否则取点关于轴的对称点，有）．不妨设位于线段上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使最大的点必位于

2、线段上．且当从向移动时，先减小后增大，于是；对于线段上任意一点，都有．于是由⑴，⑵知．不妨设为．下面研究正五边形对角线的长．如右图．做的角平分线交于．易知．于是四边形为平行四边形．∴．由角平分线定理知．解得．3．为上在轴两侧的点，求过的切线与轴围成面积的最小值．（25分）【解析】不妨设过点的切线交轴于点，过点的切线交轴于点，直线与直线相交于点．如图．设，且有．由于，于是的方程为；①的方程为．②联立的方程，解得．对于①，令，得；对于②，令，得．于是．．不妨设，，则③不妨设，则有6个9个．④又由当时，③，④处的等号均可取到．∴．注记：不妨设，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解．由知

3、当时；当时．则在上单调减，在上单调增．于是当时取得最小值．4．向量与已知夹角，，，，，．在时取得最小值，问当时，夹角的取值范围．（25分）【解析】不妨设，夹角为，则，令．其对称轴为．而在上单调增，故．当时，，解得．当时，在上单调增，于是．不合题意．于是夹角的范围为．5．（仅理科做）存不存在，使得为等差数列．（25分）【解析】不存在；否则有，则或者．若，有．而此时不成等差数列；若，有．解得有．而，矛盾！2011年“北约”自主招生数学试题及解答2012年“北约”自主招生数学试题及解答畅销5年，备考首选各选所需，全程导航《自主招生》三大系列《备考指南》系列《全国重点高校自主招生备考指南·

4、高一、高二基础版》从高一开始行动起来！⊙专为高一、高二学生设计，细致分析自主招生关键信息，深入讲解自主招生备考方略。《全国重点高校自主招生备考指南·华约+卓越联盟版》《全国重点高校自主招生备考指南·北约版》（含复旦千分考）政策、选校、笔试、面试，一本全搞定！⊙细致分析政策信息，解答历年考生的常见问题⊙教你锁定目标高校，汇编盟内高校的关键信息⊙参照历年真题的题型、知识分布、难度范围，编制仿真模拟卷，供你冲刺练兵⊙指点面试要津，列举面试真题、模拟题，助你顺利闯过最后关卡《高效备考》系列《名牌大学自主招生高效备考》(高三学生适用)为优秀高中生量身定制，分学科深入导航⊙分学科侧重补充中学教

5、材上未涉及的但在自主招生笔试中经常考到的重要知识⊙以清华北大复旦交大等校的历年考题为例展示这些知识和原理的运用⊙辅以一线教师精选的试题供参加自主招生考试的学生训练使用《同步辅导》系列重点推荐新书《名牌大学自主招生同步辅导》(高一、高二学生适用)⊙按照学科，又分上下册⊙每册书大体按小专题(讲)编写，次序与学校教学内容的次序大体相同，上册内容紧扣高一教材，下册内容紧扣高二教材。每个专题都包含以下部分：知识归纳——将高考教材中已有的相关知识作简要总结，重点突出教材中不太讲或略讲的，但自主招生中常考的知识内容。并做到每个知识点都配有相应的例题，以加深学生对这部分知识的理解。真题精析——主要

6、选取与本专题知识相关的一些名校自主招生试题，通过相应的分析和点评，让学生体会到自主招生在知识和能力两方面是怎样考查学生的。巩固练习——结合本专题的知识内容选取若干练习题供学生复习巩固应用，题目分A、B两级，难度有所区分。配有答案与提示，方便学生使用。序号书名作者1名牌大学自主招生高效备考·数学范端喜2名牌大学自主招生高效备考·物理张大同范小辉3名牌大学自主招生高效备考·化学施华4名牌大学自主招生高效备考·英语刘骁5全国重点高校自主招生备考指南·（高一、高二基础版）高三教育工作室6高考导航·全国重点高校自主招生备考指南·（高三冲刺版）（华约+卓越联盟版）高三教育工作室7高考导航·全国

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