2012年北约自主招生数学试题及详解

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1、2012年“北约”自主招生数学试题及解答1.求z的范围使得f(x)=

2、r+2

3、+

4、x

5、+

6、x-l

7、是增函数.2.求/r+ll-皿+2+4+27-1()莎+2=1的实根的个数.3.已知(F-2才+川)(工2一2/+町=0的4个根组成首*项为

8、的等差数列，求

9、m—.4.如果锐角的外接圆圆心为O,求O到三角形三边的距离比•5.已知点4(-2,0),B(0,2),若点C是圆工2一2工+/=°上的动点,求'ABC面积的最小值.6•在1,2....,2012中取一组数,使得任意两数之和不能被其差整除,M多能取多少个数？7.求使得sin4.rsi

10、n2.r—sin.rsin3.r=a/l:[0.7r)有唯〜解的a.8.求证：若恻内接五边形的毎个角都相等，则它为正五边形.9.求证：对任意的正整数〃，(1+冋'必可表示成虫+v/E的形式，其中SGN+・1.求X的范鬧使得

11、.T+2

12、+・创+

13、.T-11是增函数.解答.分别讨论无在(_oc.—2).—2()).[()・中时，去掉绝对值.易知x0即可.■2.求血+11-6$+2+厶一27-10厶+2=1的实根的个数.解答.注意到石+11-6"-2=/（工+2）—2・3・v/7R+32=v/（v^+2-3F=3--2

14、/t4-27-

15、1（）v/^T2=/（認+2）—2・5・㊁+評=；5_vx4-2而

16、5-v6T-2!-

17、3-+上2>1,所以原方程无实数解.1.已知(*一2丫+一2工+町=()的4个根组成首项为:的等差数列，求4m—n.解答•注意到两个方程的一次理系软相同，所以由韦达定理有肯项与末项之和为2.因此末頊为2_十=］这样可虹得公差为d=：•于是4个根为1357・—W亍曲丄如果悦角A.4BC的外接圆HI心为0,求O到三角形三边的距离比.解答•展孝易计X比例为co

18、(0,2),若点C是圆工2一加+沪=()上的动点，求△ABC面积的最小值.1-0-2/P—卩3—d・p,于是△遊面积也卜位为丁念解答•由数形结合知当OC垂直对(否的利同料边大于直甬边，两点之间线段最短扭矛盾八因为直线的方程为工一“一2=(),所以O到.45的距妻为1.在1.2.....2012中耽一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，量多能取多少个数？解答.将1.2•….2012分成(1.2.3).(4.5・6).・・・•(2008.2009.2010).(2011.2012)iX671it・如果取至少672个歎，則有柚屉原理必須

19、有2个数為于同一组.不舫设为(i>b,则a—b=1・2・当a—b=1时，此时a_b整徐a+b,不合要求；当a—b=2对，此对a.b同专偶，务以o_b为偶敦，从而a-b塑徐a-b，不合要求.因比说多取671个數，现在飲1.4,7...・.2011这6刀个敦，此討■任码欽之和徐以3的余数为2,面两數之基是3的倍數,所以任蠹两数之和不乜仪其差整％.炼上所述，最多能取6刀个数.1.求使得sinsin2z一siuxsinSz=a在［()•r)构唯一解的a•6上)显联关于r=

20、2Ir=()在()•r)不止一轉■故解答.ii/(j：)=sin4上

21、siu2工—sinx*inlr=-(cos4r—cos对称，因此/(z)=

22、.又因为A.C.D.E四点共圆，所以£GAC=ZEDG=乙GED，所以DE平ft于CD,AE=BC.BC=DE.DE=ABt于是AB=BC=CD=DE=DA,即五边形ABCDE为王五边形・■注记.括上图后議后一页出現颜色退化问题，不明原因，图比较简单，索性不插图了.■9.求证：对任意的正整数n,(1~y/2)n必可表示成莎一v

23、理可证（1+辺）2心1=a2n+l+〈喙+i-1综上所述八命题得证.