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《“北约”自主招生数学试题及答案(2010-2014)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、2014年北约自主招生数学试题1.圆心角为的扇形面积为,求它围成的圆锥的表面积.1.【解】设扇形的半径为,则由,得.于是扇形的弧长为,其即为圆锥的底面周长,于是圆锥的底面半径为1,所以底面面积为,也所以圆锥的表面积为.2.将10个人分成3组,一组4人,两组各3人,有多少种分法.2.【解】由题知所有分组方法有种.3.如果的值域为,求的取值范围.3.【解】由题意的值域包含区间,则与有交点,故,解得或.4.设,且,求.4.【解】由得;,由数学归纳法可推导得,所以.5.已知且都是负数,求的最值.5.【解】由可知,,20所以,即,令,则易知函数在上递减,所以其在上递减
2、,于是有最小值,无最大值.6.已知在上是奇函数,求.6.【解】奇函数,故.7.证明是无理数.7.【证明】由三角公式,若是有理数,则为有理数,再由和可得为有理数,这与为无理数矛盾!因此,是无理数.8.已知实系数二次函数与满足和都有双重实根,如果已知有两个不同的实根,求证没有实根.8.【证】由题可设,其中,则,由有两个不同的实根,则必有异号,且,此时,即,所以,故此时观察可知,同号,且,,故恒成立,即证明没有实根.209.是等差数列,,问:是否可以同时在中,并证明你的结论.9.【解】不可以同时在中,下面给予证明.假设同时在中,设,其中为公差,则于是存在正整数,使
3、得从而也所以,由于21,32互质,且为整数,则有,但,矛盾!假设错误,即证明不可以同时在中.10.已知,且,求证:.10.【证】(一法:数学归纳法)①当时,左边右边,不等式成立;②假设时,不等式成立.那么当时,则,由于这个正数不能同时都大于1,也不能同时都小于1,因此存在两个数,其中一个不大于1,另一个不小于1,不妨设,从而,所以20其中推导上式时利用了及时的假设,故时不等式也成立.综上①②知,不等式对任意正整数都成立.(二法)左边展开得由平均值不等式得故,即证.(三法)由平均值不等式有……①;……②①+②得,即成立.202013年北约自主招生数学试题与答案
4、（时间90分钟，满分120分）1．以和为两根的有理系数多项式的次数最小是多少？A.2B.3C.5D.6解析：显然，多项式的系数均为有理数，且有两根分别为和.于是知，以和为两根的有理系数多项式的次数的最小可能值不大于5.若存在一个次数不超过4的有理系数多项式，其两根分别为和，其中不全为0，则：即方程组：，有非0有理数解.由（1）+（3）得：（6）由（6）+（2）得：（7）由（6）+（4）得：（8）由（7）（5）得：，代入（7）、（8）得：，代入（1）、（2）知：.于是知，与不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式，其两根分别为和.综上所述知，以
5、和为两根的有理系数多项式的次数最小为5.2．在的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？A.720B.20C.518400D.14400解析：先从6行中选取3行停放红色车，有20种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择；最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。三辆红色车的位置选定后，黑色车的位置有3！=6种选择。所以共有种停放汽车的方法.1．已知，求的值.A.10B.12C.14D.16解析：根据条件知：由两
6、式相减得故或①若则，解得.于是知或.当时，.当时.（2）若，则根据条件知：，于是，进而知.于是知：.综上所述知，的值为或.2．数列满足，前项和为，求.A.3019´22012B.3019´22013C.3018´22012D.无法确定解析：根据条件知：20.又根据条件知：.所以数列.又.令，则，所以.即.对，两边同除以，有，即.令，则，，于是知.所以.于是知：.5．如图，中，为边上中线，分别的角平分线，试比较与的大小关系，并说明理由.A.BM+CN>MNB.MN+CN7、为的角平分线，所以，知为线段的垂直平分线，所以.所以.6.模长为1的复数，满足，求的模长.A.-1/2B.1C.2D.无法确定解析：根据公式知，.于是知：20.所以的模长为1.7．最多能取多少个两两不等的正整数，使得其中任意三个数之和都为素数.解析：所有正整数按取模3可分为三类：型、型、型.首先，我们可以证明，所取的数最多只能取到两类.否则，若三类数都有取到，设所取型数为，型数为，型数为，则，不可能为素数.所以三类数中，最多能取到两类.其次，我们容易知道，每类数最多只能取两个.否则，若某一类型的数至少取到三个，设其中三个分别为，则，不可能为素数.所以每类数最
8、多只能取两个.结合上述两条，我们知道最多只能取个数，
