2010年北约自主招生--数学(试题及答案)

《2010年北约自主招生--数学(试题及答案)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2010年“北约”自主招生数学试题及解答1．，求证：．2．为边长为的正五边形边上的点．证明：最长为．（25分）3．为上在轴两侧的点，求过的切线与轴围成面积的最小值．（25分）4．向量与已知夹角，，，，，．在时取得最小值，问当时，夹角的取值范围．（25分）5．（仅理科做）存不存在，使得为等差数列．（25分）答案解析:1.不妨设，则，且当时，．于是在上单调增．∴．即有．同理可证．，当时，．于是在上单调增。∴在上有。即。2.以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．⑴当中有一点位于

2、点时，知另一点位于或者时有最大值为；当有一点位于点时，；⑵当均不在轴上时，知必在轴的异侧方可能取到最大值（否则取点关于轴的对称点，有）．不妨设位于线段上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使最大的点必位于线段上．且当从向移动时，先减小后增大，于是；对于线段上任意一点，都有．于是由⑴，⑵知．不妨设为．下面研究正五边形对角线的长．如右图．做的角平分线交于．易知．于是四边形为平行四边形．∴．由角平分线定理知．解得．3.不妨设过点的切线交轴于点，过点的切线交轴于点，直线与直线相交于点．如图．设，且有．由于，

3、于是的方程为；①的方程为．②联立的方程，解得．对于①，令，得；对于②，令，得．于是．．不妨设，，则③不妨设，则有6个9个．④又由当时，③，④处的等号均可取到．∴．注记：不妨设，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解．由知当时；当时．则在上单调减，在上单调增．于是当时取得最小值．4.不妨设，夹角为，则，令．其对称轴为．而在上单调增，故．当时，，解得．当时，在上单调增，于是．不合题意．于是夹角的范围为．5.不存在；否则有，则或者．若，有．而此时不成等差数列；若，有．解得有．而，矛盾！