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1、2013“北约”自主招生试题2013-03-16(时间90分钟,满分120分)一、选择题(每题8分,共48分)1.以和为两根的有理系数多项式的最高次数最小为()A.2B.C.D.【解】由,可知,同理由可知;所以方程的次数最小,其次数为5,故选C.2.在的表中停放3辆完全相同的红色和3辆完全相同的黑色车,每一行每一列只有一辆车,每辆车只占一格,共有种停放方法.A.720B.C.D.【解】红色车选3列有种方法,再从这三列中选三行有种方法,另外将红色车放在已选好的三列三行中有种方法,同理黑色车只能从剩下的三行三列九个格中选,也有种方法,因此方法数有种.故选D.3.已知
2、,(),则值为()A.B.C.D.【解】由与两式作差得,代入两式中分别化出、,所以是方程的两个不等实根,于是,也所以.故选D.4.在数列中,,(),则值为()A.B.C.D.无法确定【解】由,()……①可知,当时,,所以;当时,有……②,由①-②式得,,即,且所以(),同除以得,,且;所以,故令时,得,故选A.MNACDB5.在中,为中点,平分交于点,平分交于,则与的关系为()A.B.C.D.无法确定MNACDBE【解】如图,在取,连接则显然可证,且有,即,上述不等式当且仅当,也即,这显然与三角形内角和定理矛盾,故等号取不到,也即选A.6.模长都为1的复数满足,
3、则的模长为()A.B.C.D.无法确定【解】由题知,所以,也即,故选B.二、解答题(每题18分,共72分)7.最多能找多少个两两不相等的正整数使其任意三个数之和为质数,并证明你的结论.【解】:至多有4个.首先可以取1,3,7,9这四个数,它们任意三个数之和分别为11,13,17,19符合质数定义.下面再证明5个正整数是不符合题意的.若有5个正整数,则考虑这五个数被3除的余数,如果有一个数的余数为0,那么考虑余下的4个数被3除的余数,如果余数既有1也有2,那么这两个数与前面余数为0的数的和刚好为3的倍数,故不符合题意,如果余下四个数的余数均相等,显然取余下四个数中
4、的三个数,则这三个数的和为3的倍数不是质数,也不符合题意,如果这5个数被3除的余数都不等于0,则由抽屉原理,至少有3个数被3除的余数相同,这三个数的和是3的倍数不是质数,也不符合题意.综上可知,不存在5个正整数符合题意,即至多有4个正整数符合题意.8.已知,且.证明:.【证明】:观察可知,即……①又,不妨设,则①可写为,即,又显然,则有,于是有,所以,即.也所以,即证.9.对于任意,求的值.【解】即求.10.有一个的数表,已知每一行的数均是由小到大排列.现在将每一列的数由小到大重新排列,则新的数表中每一行的数满足什么样的关系？请证明你的结论.〖原题叙述〗:已知有
5、个实数,排列成阶数阵,记作,使得数阵中的每一行从左到右都是递增的,即对意的,当时,都有.现将的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列,形成一个新的阶数阵,记作,即对任意的,当时,都有.试判断中每一行的个数的大小关系,并说明理由.【解】:数阵中每一行的个数从左到右都是递增的,理由如下:显然,我们要证明数阵中每一行的个数从左到右都是递增的,我们只需证明,对于任意,都有,其中.若存在一组,令,其中,则当时,都有.也即在中,至少有个数小于,也即在数阵中的第列中,至少排在第行,与排在第行矛盾.所以对于任意的,都有,即数阵中每一行的个数从左到右都是递增的.
