2011北约自主招生数学题及解答

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1、2011北约自主招生数学题及解答∎1、已知平行四边形的其中两条边长分别是3和5，一条对角线长是6，求另一条对角线的长。解：由对角线的平方和等于四边的平方和：所以36+x2=2(9+25)，x2=32，∴x=42。∎2求过抛物线y=2x2-2x-1，y=-5x2+2x+3交点的直线方程。解：y=2x2-2x-1y=-5x2+2x+3，5y=10x2-10x-52y=-10x2+4x+6，7y=-6x+1，∴6x+7y-1=0为所求。∎3、等差数列a1,a2,⋯满足a3=-13，a7=3，这个数列的前n项和为S

2、n，数列S1,S2,⋯中哪一项最小，并求出这个最小值。解：d=a7-a37-3=164=4，∴a1=-21，Sn=2n2-23n，当n=234，即n=6时Sn最小，最小为-66。∎4、∆ABC的三边a,b,c满足a+b≥2c，A,B,C为∆ABC的内角，求证：C≤60°。解：ab≤(a+b2)2，cosC=a2+b2-c22ab=(a+b)2-2ab-c22ab≥(a+b)2-c2(a+b)22-1=1-2c2(a+b)2≥1-2c24c2=12，所以C≤60°。∎5、是否存在四个正实数，它们的两两乘积分别

3、是2,3,5,6,10,16？解：设存在四个正实数分别为a

4、⊙C1与⊙C2相交时a).⊙C与它两都外切，轨迹是线段C1C2的垂直平分线去掉两圆的公共弦；b).⊙C与它两都内切，轨迹是线段C1C2的垂直平分线；c).⊙C与两圆一个内切，一个外切时，

5、CC1

6、=r1-R，

7、CC2

8、=r2+R，

9、CC1

10、+

11、CC2

12、=r1+r2，轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆。②⊙O1与⊙O2外切时a).⊙C与它两都外切，轨迹是线段C1C2的垂直平分线去掉两圆的切点；b).⊙C与它两都内切，轨迹是线段C1C2的垂直平分线；c).⊙C与两圆一个内切，一个外切时，轨迹是直线C1C2，去掉C1

13、、C2和两圆的切点。③⊙O1与⊙O2相离时a).⊙C与它两都外切，轨迹是线段C1C2的垂直平分线；b).⊙C与它两都内切，轨迹是线段C1C2的垂直平分线；c).⊙C与两圆一个内切，一个外切时，

14、CC1

15、-r1=

16、CC2

17、+r2，

18、

19、CC1

20、-

21、CC2

22、

23、=r1+r2，轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线。⑵当r1≠r2，不妨设r1

24、CC1

25、-r1=

26、CC2

27、-r2，轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线中(对应焦点C1)的一支，去掉两圆公共区域的部分；b).⊙C与它

28、两都内切，

29、CC1

30、+r1=

31、CC2

32、+r2，或r1-

33、CC1

34、=r2-

35、CC2

36、轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线中(对应焦点C2)的一支；c).⊙C与两圆一个内切，一个外切时，

37、CC1

38、-r1=r2-

39、CC2

40、，轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆。②⊙O1与⊙O2外切时a).⊙C与它两都外切，

41、CC1

42、-r1=

43、CC2

44、-r2，轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线中(对应焦点C1)的一支，去掉两圆的切点；b).⊙C与它两都内切

45、CC1

46、+r1=

47、CC2

48、+r2，轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线中(对应焦点C2)的

49、一支；c).⊙C与两圆一个内切，一个外切时，

50、CC1

51、-r1=r2-

52、CC2

53、，轨迹是直线C1C2，去掉C1、C2和两圆切点。③⊙O1与⊙O2相离时a).⊙C与它两都外切，

54、CC1

55、-r1=

56、CC2

57、-r2，轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线中(对应焦点C1)的一支；b).⊙C与它两都内切，

58、CC1

59、+r1=

60、CC2

61、+r2，轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线中(对应焦点C2)的一支；c).⊙C与两圆一个内切，一个外切时，

62、CC1

63、-r1=r2-

64、CC2

65、，轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线。④⊙O1与⊙O2内切

66、时a).⊙C与它两都外切，轨迹是射线C2C1在两圆切点以外部分；b).⊙C与它两都内切，轨迹是以两圆切点为端点，方向是C1C2，去掉C1、C2和两圆切点的射线。c).⊙C与两圆一个内切，一个外切时，轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，去掉两圆的切点。⑤⊙O1与⊙O2内含时a).⊙C与它两都内切，轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆；b).⊙C与两圆一个内切，一个外切时，轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆。∎7、求f(x)=x-