函数的极值与最值(带答案)

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1、导数法解极值、最值问题类型一、正向思维已知解析式求极值或最值InX【例1】已知函数y=f(x)=—ox(I)求y=f(x)的最大值;(II)设实数a>0,求函数F(x)=af⑴在[a,2a]±的最小值解析：⑴令/©=0得x=e""

2、・・•当xe(O.e)时，/(>:)>0,/(功在(04上为増函数当xe时，f(x)<0,在(e：g)上为减旳数厶⑴=/(◎=[e.(2)va>0,由(2〉知：F(x)在(0«)上单调递増，在@出功上里调递减。■・-・F(力在肚却上的最小值/oul(x)=miD{F®FS}・・・F(a)-F3=存片「.当0v"2时，F(^>-F(2a)(x)=F(a)

3、=faa当2<«B寸F(o)—FS〉0,f^(x)=F(2a)=^2ai-j互■<类型二、逆向思维已知极值或最值求解析式【例2】已f(x)=ax3+bx2+cx(a0)在兀=±1时取得极值，且f(1)=—1.(1)试求常数a、b、c的值；(2)试判断x二±1是函数的极小值还是极人值，并说明理由.解析：(1〉由已知得=3axa+2bx+c*/x=±1是函数f(x)的极值点，-■.x=±l是方程fx)=0,即3ax2+2bx+c=O的两根.』=0①由根与系数的关系，得367又f（1）=-1,/.a+b+c=~l,③由①②③解得a二丄上=0工=3,学科网2213333（2）f（x）=

4、—x3——x,—^2——=—（X—1）（x+1）22222当xV-l或X>1时，fx）>0}当一1

5、beR),

6、11

7、线y=/(x)在点(1,/(1))处的切线方程为x-2y-2=0.(I)求/(X)的解析式；(II)当兀>1吋，/(兀)+仝vO恒成立，求实数R的収值范围;解析：(I〉•.•y'(x)=alux+&x,・fr(x)=—+b・•・•直线x—即一2=0的斜率为；,且曲线y=丁⑴过点(1,一亠八1)詁’b=——.2・即Ia+b=-.2丄~2所以/(x)=lnx-^Ir(II〉由(I〉得当"1时,/(%)+-<0恒成立即TTlcHlIdx——+—<0等价于——一xlnx•2x2令g(x)=——xlux>贝I」gf(x)=x—(lux+1)=x—1—Idx.21y_[令

8、应(x)=x-l—lnx,贝iJ/jf(x)=1--=・-XT当el时」函数方匕)在(L-KO)上单调递増，故A(x)>A(l)=O.从而，当工>1时，g'(x)A0,即函数g(0在(L-H»)上单调递増，1X21故g(x)Ag(l)=刁・因此，当兀>1时，k<—-x]nx恒成立，则k<-.・•・上的取值范围杲(Tof]・1.若点P是曲线尸二x‘一Inx上任意一点，则点P到直线y=x—2的最小值为()A.1B.^2C.D.y/32解析：设心如，点P到直线一2的距离“上需已亡”，设g^=j(?-x-x+2(x>0),所以g，(x)二"％1=(2兀+lXx1),当x

9、x)0时,g©)>0,则g(x)在(0,1)是减函数,在(b+8)上是増函数，则当E时,g(x)取极小值也是最小值g(l)=2,此时好血,故选B・2.若函数y=/一弓工2+q在［_i,i］上有授大值3,则该函数在［一1,1］上的最小值是21A.——2B.0、1C・一2D.1解析：/=3x2-3x=3x(x-1)>0,/<0,解得0y=<一牙x2+3,/(-l)=—,/(1)=舟'所以最小值是/(一1)=£・选C。3.设广⑴为函数于(兀)的导函

10、数,已知说厂(兀)+"(兀)=In兀,/(£)=丄,则下列结论正e确的是()(A)于(兀)在(0,+oo)单调递增(B)/(X)在(0,+oo)单调递减(C)/(兀)在(0,+oo)上有极人值(D)/(x)在(0,+oo)上有极小值解析：x^/Cx)+V(x)=Id^x)+/(x)=—[#(x)S=—^^(x)=^(]nx)2+c,所以xx2ln2x<7pc、1zS1pa“、i21nx-ln2x1才(兀)=^—+—，又/(£)=_,^c=-f即/(x)=——+—,-.f(x)=