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《18因动点产生的线段和差问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、1.8因动点产生的线段和差问题例12015年福州市中考第26题如图1,抛物线y=jr-4x与兀轴交于0、A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m与抛物线的对称轴交于点Q.(1)这条抛物线的对称轴是,直线PQ与兀轴所夹锐角的度数是:AC与直线PQ交于点D,求:①PD+DQ的最大值；②PD・DQ的最大值.动磁体殓请打开几何画板文件名“15福州26”，拖动点P在抛物线上运动，可以体验到，OH：AH=：3存在两种情况.点击屏幕左下角的按钮“第(3)题”，拖动点P在x轴下方的抛物线上运动，观察图像“+随P'和“乂随卩”，可以体验到，当点P运动到抛物线的顶点时，点P与点0重合，
2、此时PD+QD最大，PD・QD也最大.思路点拨1.第(2)题△OQP与是同底三角形，把面积比转化为对应高的比，进而确定线段04的分点的位置，从而得到直线PQ与y轴的交点坐标.2.第(3)题中，△CQD保持等腰直角三角形的形状.满分解答(1)抛物线的对称轴为直线兀=2,直线PQ与天轴的夹角为45°•(2)因为△OQP与△刊Q有公共边PQ,所以它们的面积比等于对应高的比.如图2,作OM丄PQ于M,AV丄P0于N.当S“QP=—S△用Q时，°”=—.~3AN3设直线PQ与x轴交于点那么理二理丄AHAN3由y=x2—4x=x(x—4),得A(4,0).所以OA=4.①如图2,当点H在
3、线段OA上时，OH=1,H(l,0).此时m=~.②如图3,当点H在40的延长线上时，OH=2,H(-2,0).此时m=2.(3)①如图4,由A(4,0)、C(2,2),得直线AC与x轴的夹角为45°，点C在抛物线的对称轴上.又因为直线PQ与x轴的夹角为45°,所以△CDQ是等腰直角三角形.作点Q关于直线AC的对称点0,那么△CQ0是等腰直角三角形，CQ7*轴.所以DQ=DQ.因此PD+DQ=PD+DQ,=PQ,.作PP丄CQS垂足为P,那么△PP0是等腰直角三角形.因此当PP最大时，P0也最大.当点P运动到抛物线的顶点(2,—4)时，PP1最大，最大值PP=6・此时P0的
4、最大值为6血，即PD+DQ的最大值为6©.②由于PD+DQW6近,设PD=ci,那么DQW6近-a•因此PD・QD^«(6a/2-a)=-(a-3y[2)2+IS.所以当a=3血吋，PD・QD的最大值为18.此吋PD=DQ=3血，P、Q两点重合于抛物线的顶点.考点伸畏第(3)①题可以用代数法來解：因为点P在抛物线y=M—4兀上，设P(n,n2—4n).将P(n,«2—4/7)代入直线y=x+mf可得m=n2—5n.所以直线PQ可以表示为y=x+n2—5/7,那么2(2,2+w2-5/?).联立直线AC：y=~x+4和直线PQ：y=x+n2—5/1,可得2jq)=4—/+5〃・
5、于是PD~~DQ=°-xp)+°—x^)—y/2(2xD—xp—=V2(4-h2+5/7-2-/?)=-V2(h-2)2+6V2.所以当n=2时，PD+DQ的最大值为6血・当n=2时点P在抛物线的顶点.例22014年广州市中考第24题己知平面直角坐标系中两定点A(-l,0)、3(4,0),抛物线)=衣+以一2(qHO)过点4、B,顶点为C,点P(fn,n)(刃<0)为抛物线上一点.(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标；(2)当ZAPB为钝角吋，求加的取值范围；(3)若加〉A,当ZAPB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t(O6、为C、P,是否存在/,使得顺次首尾连接A、B、卩、C所构成的多边形的周反最短？若存在，求f的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由.动感体验请打开几何画板文件名“14广州24”，拖动点C左右移动，可以体验到，点F、3〃的位置是确定不动的，这是因为点P、C是确定不动的，BBFC、PC平行且相等.当点C落在线段AB"上时，四边形的周长最小.思路点拨1.要探求ZAPB为钝角时点P的范围，需要先找到ZAPB为直角时点P的位置.2.直径的两个端点与圆内一点围成的三角形是钝角三角形.3.求两条线段的和最小，是典型的“牛喝水”问题.本题的四条线段中，有两条的长是定值，把不定的两条
7、线段通过“平行且相等”连接起来，就转化为“牛喝水”问题.满分鮮答(1)因为抛物线y=a^+bx~2与兀轴交于4(—1,0)、〃(4,0)两点,所以y=a(x+)(x—^)=ax—3ax—^a.所以宀所以―⑴―2,Ha.所以心‘"弓顶点为C(-,-—).28(1)如图1,设抛物线与y轴的交点为D.由人(一1,0)、B(4,0)、D(0,—2),可知空=纟2.ODOB所以△AODsMOB.因此ZADO=ZDBO.由于ZDBO与ZBQO互余，所以ZAD。与ZBDO也互余.图1于是可得ZADB=90°.因此以
