第8讲-因动点产生的线段和差问题.doc

第8讲-因动点产生的线段和差问题.doc

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1、第8讲因动点产生的线段和差问题例1福州市中考第26题如图1,抛物线y=x2-4x与x轴交于O、A两点,P为抛物线上一点,过点P的直线y=x+m与抛物线的对称轴交于点Q.(1)这条抛物线的对称轴是_________,直线PQ与x轴所夹锐角的度数是______;(2)若两个三角形的面积满足S△OQP=S△PAQ,求m的值;(3)当点P在x轴下方的抛物线上时,过点C(2,2)的直线AC与直线PQ交于点D,求:①PD+DQ的最大值;②PD·DQ的最大值.图思路点拨1.第(2)题△OQP与△PAQ是同底三角形,把面积比转化为对应高的比,进而确定线段OA的分点的位置,从而得到直线PQ

2、与y轴的交点坐标.2.第(3)题中,△CQD保持等腰直角三角形的形状.满分解答(1)抛物线的对称轴为直线x=2,直线PQ与x轴的夹角为45°.(2)因为△OQP与△PAQ有公共边PQ,所以它们的面积比等于对应高的比.如图2,作OM⊥PQ于M,AN⊥PQ于N.当S△OQP=S△PAQ时,.设直线PQ与x轴交于点H,那么.由y=x2-4x=x(x-4),得A(4,0).所以OA=4.①如图2,当点H在线段OA上时,OH=1,H(1,0).此时m=-1.②如图3,当点H在AO的延长线上时,OH=2,H(-2,0).此时m=2.(3)①如图4,由A(4,0)、C(2,2),得直线

3、AC与x轴的夹角为45°,点C在抛物线的对称轴上.又因为直线PQ与x轴的夹角为45°,所以△CDQ是等腰直角三角形.作点Q关于直线AC的对称点Q′,那么△CQQ′是等腰直角三角形,CQ′//x轴.所以DQ=DQ′.因此PD+DQ=PD+DQ′=PQ′.作PP′⊥CQ′,垂足为P′,那么△PP′Q′是等腰直角三角形.因此当PP′最大时,PQ′也最大.当点P运动到抛物线的顶点(2,-4)时,PP′最大,最大值PP′=6.此时PQ′的最大值为,即PD+DQ的最大值为.图2图3图4②由于PD+DQ≤,设PD=a,那么DQ≤.因此PD·QD≤.所以当a=时,PD·QD的最大值为18

4、.此时PD=DQ=,P、Q两点重合于抛物线的顶点.考点伸展第(3)①题可以用代数法来解:因为点P在抛物线y=x2-4x上,设P(n,n2-4n).将P(n,n2-4n)代入直线y=x+m,可得m=n2-5n.所以直线PQ可以表示为y=x+n2-5n,那么Q(2,2+n2-5n).联立直线AC:y=-x+4和直线PQ:y=x+n2-5n,可得2xD=4-n2+5n.于是PD+DQ===.所以当n=2时,PD+DQ的最大值为.当n=2时点P在抛物线的顶点.例2广州市中考第24题已知平面直角坐标系中两定点A(-1,0)、B(4,0),抛物线y=ax2+bx-2(a≠0)过点A、

5、B,顶点为C,点P(m,n)(n<0)为抛物线上一点.(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标;(2)当∠APB为钝角时,求m的取值范围;(3)若m>,当∠APB为直角时,将该抛物线向左或向右平移t(0<t<)个单位,点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′,是否存在t,使得顺次首尾连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短?若存在,求t的值并说明抛物线平移的方向;若不存在,请说明理由.思路点拨1.要探求∠APB为钝角时点P的范围,需要先找到∠APB为直角时点P的位置.2.直径的两个端点与圆内一点围成的三角形是钝角三角形.3.求两条线段的和最小,是典型的“牛喝水”问题.本

6、题的四条线段中,有两条的长是定值,把不定的两条线段通过“平行且相等”连接起来,就转化为“牛喝水”问题.满分解答(1)因为抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于A(-1,0)、B(4,0)两点,所以y=a(x+1)(x-4)=ax2-3ax-4a.所以-4a=-2,b=-3a.所以,.所以。顶点为.(2)如图1,设抛物线与y轴的交点为D.由A(-1,0)、B(4,0)、D(0,-2),可知.所以△AOD∽△DOB.因此∠ADO=∠DBO.由于∠DBO与∠BDO互余,所以∠ADO与∠BDO也互余.图1于是可得∠ADB=90°.因此以AB为直径的圆经过点D.当点P在x轴下方圆的内

7、部时,∠APB为钝角,此时-1<m<0,或3<m<4.(3)若m>,当∠APB为直角时,点P与点D关于抛物线的对称轴对称,因此点P的坐标为(3,-2).如图2,由于点A、B、P、C是确定的,BB′、P′C′、PC平行且相等,所以A、B、P′、C′四点所构成的四边形中,AB和P′C′的长是确定的.如图3,以P′C′、P′B为邻边构造平行四边形C′P′BB′,以直线为对称轴作点B′的对称点B′′,联结AB′′,那么AC′+P′B的长最小值就是线段AB′′。如图4,线段AB′′与直线的交点,就是四边形周长最小时点C′的位置.如图2,

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