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1、第7讲因动点产生的相切问题例1上海市闵行区中考模拟第24题如图1，在平直角坐标系中，抛物线＞，=o?-2ov-4与x轴交于A、B两点，与＞，轴交于点C,其中点A的坐标为(一3,0),点D在线段上,AD=AC.(1)求这条抛物线的解析式，并求出抛物线的对称轴；(2)如果以为半径的OZ)与OC外切，求OC的半径；(3)没点M在线段上，点/V在线段打C上，如果线段A//V被直线CD垂直平分，求:^的值.思路点技1.准确描绘A、B、C、D的位置，把相等的角标注岀来，利干寻找等量关系.2.第(3)题在图形中模拟比划AW的位置，近似£＞C乘直平分M/V时，把新产生的等角
2、与前曲'存在的等角对比，思路就冇了.满分解答(1)将点4(—3,0)代入)，=or2—2ar—4，得15a_4=0.解得“1.所以抛物线的解析式为y=1x2-±J一4.151515抛物线的对称轴为直线1.484(2)=—X2-—x-4=—(^+3)(x-5),得B(5,0)，C(0，一4).•151515由A(—3,0)、B(5,0)、C(0，一4),得AB=8,AC=5.当时，©£＞的半径DB=3.由£)(2,0)、C(0,-4),得DC=2$•因此当O£＞与OC外切时，OC的半径为2^-3(如图2所示).(3)如图3，因为AD=AC，所以Z/1C/)=Z
3、AZ)C.如果线段AW被直线CD垂直平分，那么Z/1DC=ZM)C.这吋所以EW/MC.r_BD_3^CTV_5*考点伸展解第（3）题画示意阁的时候，容易误入歧途，以为M就是点0.这是为什么呢?我们反过来计算：当IW/MC,二1时，—因此=CN5AC888而£）0=2，你看A/、0相距足多么的近啊.放人还原事实的真相，如阁4所示.图4例2上海市徐汇区中考模拟第25题3已知04=5，sinZ0=-,点£>为线段04上的动点，以A为圆心、AD为半径作©儿5（1）如图1,若©A交于B、C两点，设（％）=x，BC=y，求>，关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（
4、2）将©A沿直线0B翻折A得到©/V.①若OA'与直线CM相切，求x的值；思路点捩1.把不变的呈先标记出來，岡心A到直线0B的距离A£=3,翻折以P的關心A'的位置不变，A4'=2AE=6.2.若©/V与直线（从相切，那么圆心A'到直线0A的距离等于圆的半径，由此自然就构造出®线，以/U'为斜边的直角三角形的三边长就足确定的.3.探究两圆相切，在罗列三要素/?、/*、的过程屮，发现先要突破圆心距A7）.游分解答（1）如图2,作垂足为£，那么£足付C的中点.3在Rt/XOAE中，0A=5,sinZO=-,所以A£=3.5在RtABAE巾，AB=AD=5~xtA
5、£=3,BE=-BC=-y>22由勾股定理，得（5—x）2二32+（丄/）2.整理，得y=2W-10;v+16.定义域是0彡x<2.图2图3(2)①如图3，将OA沿直线翻折后得到OA',AAf=2AE=6.作AT/丄OA,垂足为H.a1o24在RtZvl%//屮，AAf=6fsinZ4F=-,所以A//=—，AfH=—.555若OA'与直线0A相切，那么半径等于AfH.241解方程5—x=,^x=-.55②如图4,在RtAATW中，A'D=^(y)2+(5-x-y)2=^x2-yX+25.对于©A'，R=5-x；对于r=DO=xx圆心距ATX如果两圆外切，i
6、lld=R+r,x2-—x+25=5-x+x.解得又二社(如图4).V55如果两圆内切，由r
7、,f>^x2-yX+25=
8、5-x-x
9、.解得x=%〉5.所以两圆不可能内切.15图4图5当Z）为OA的中点时，©A'与以D为圆心、为半径的©Z）是什么位置矢系?©A'和OD等圆，/?=-,两圆不可能内切.2当£）为OA的中点时，DH=AH-AD=—--=—.5210此时心:=漂秦5.因此两醐半径和湖心距’此棚是相交的（如图5）.例3上海市杨浦区中考模拟第25题如图1，已知©6＞的半径长为3,点A是0（9上一定点，点P为0（9上不同于点A的动点.（1）当tanA=丄
10、时,求A尸的长；2（2）如果©2过点P、0,且点在直线上（如阁2），设QP=y,求y关于x的函数关系式，丼写出阑数的定义域；（3）在（2）的条件下，当=i时（如图3）,存在©M与0（9相闪切，同时与O0相外切，且3丄02,试求0M的半径的长.思珞点拨1.第（1）题的计算用到乘径定理和勾股定理.2.第（2）题中冇一个典型的图，冇公共底角的两个等腰三角形相似.3.第（3）题先把三个圆心距罗列fll来，三个圆心距围成一个直角三角形，根据勾股定理列方程.满分解答（1）如阁4,过点0作0/7丄那么在RtAOA/Y中，04=3,tanA=丄，设OH=m，AH=2m，那么
11、m2+（2m）2=32.2解得州=@.所以===.5
