因动点产生的线段和差问题.doc

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1、因动点产生的线段和差问题例12013年天津市中考第25题在平面直角坐标系中,已知点A(-2,0),B(0,4),点E在OB上,且∠OAE=∠OBA.(1)如图1,求点E的坐标;(2)如图2,将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′,连结A′B、BE′.①设AA′=m,其中0<m<2,使用含m的式子表示A′B2+BE′2,并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标;②当A′B+BE′取得最小值时,求点E′的坐标(直接写出结果即可).图1图2动感体验请打开几何画板文件名“13天津25”,拖动点A′在线段AO上运动,可以体验到,当A′运动到AO的中点时,A′B2+BE′2取得最小值.当A′

2、、B、E′′三点共线时,A′B+BE′取得最小值.请打开超级画板文件名“13天津25”,拖动点A′在线段AO上运动,可以体验到,当A′运动到AO的中点时,A′B2+BE′2取得最小值.当A′、B、E′′三点共线时,A′B+BE′取得最小值.思路点拨1.图形在平移的过程中,对应点的连线平行且相等,EE′=AA′=m.2.求A′B2+BE′2的最小值,第一感觉是用勾股定理列关于m的式子.3.求A′B+BE′的最小值,第一感觉是典型的“牛喝水”问题——轴对称,两点之间线段最短.满分解答(1)由∠OAE=∠OBA,∠AOE=∠BOA,得△AOE∽△BOA.所以.因此.解得OE=1.所以E(0,1).

3、(2)①如图3,在Rt△A′OB中,OB=4,OA′=2-m,所以A′B2=16+(2-m)2.在Rt△BEE′中,BE=3,EE′=m,所以BE′2=9+m2.所以A′B2+BE′2=16+(2-m)2+9+m2=2(m-1)2+27.所以当m=1时,A′B2+BE′2取得最小值,最小值为27.此时点A′是AO的中点,点E′向右平移了1个单位,所以E′(1,1).②如图4,当A′B+BE′取得最小值时,求点E′的坐标为.图3图4考点伸展第(2)②题这样解:如图4,过点B作y轴的垂线l,作点E′关于直线l的对称点E′′,所以A′B+BE′=A′B+BE′′.当A′、B、E′′三点共线时,A′

4、B+BE′′取得最小值,最小值为线段A′E′′.在Rt△A′O′E′′中,A′O′=2,O′E′′=7,所以A′E′′=.当A′、B、E′′三点共线时,.所以.解得.此时.例22012年滨州市中考第24题如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-2,-4)、O(0,0)、B(2,0)三点.(1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式;(2)若点M是该抛物线对称轴上的一点,求AM+OM的最小值.图1动感体验请打开几何画板文件名“12滨州24”,拖动点M在抛物线的对称轴上运动(如图2),可以体验到,当M落在线段AB上时,根据两点之间线段最短,可以知道此时AM+OM最小(如图3

5、).请打开超级画板文件名“12滨州24”,拖动点M,M落在线段AB上时,AM+OM最小.答案(1)。(2)AM+OM的最小值为.图2图3例32012年山西省中考第26题如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点.(1)求直线AC的解析式及B、D两点的坐标;(2)点P是x轴上的一个动点,过P作直线l//AC交抛物线于点Q.试探究:随着点P的运动,在抛物线上是否存在点Q,使以A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由;(3)请在直线AC上找一点M,使△BDM的周长最小,

6、求出点M的坐标.图1动感体验请打开几何画板文件名“12山西26”,拖动点P在x轴上运动,可以体验到,点Q有3个时刻可以落在抛物线上.拖动点M在直线AC上运动,可以体验到,当M落在B′D上时,MB+MD最小,△MBD的周长最小.思路点拨1.第(2)题探究平行四边形,按照AP为边或者对角线分两种情况讨论.2.第(3)题是典型的“牛喝水”问题,构造点B关于“河流”AC的对称点B′,那么M落在B′D上时,MB+MD最小,△MBD的周长最小.满分解答(1)由y=-x2+2x+3=-(x+1)(x-3)=-(x-1)2+4,得A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)、D(1,4).直线AC的解析式是y

7、=3x+3.(2)Q1(2,3),Q2(),Q3().(3)设点B关于直线AC的对称点为B′,联结BB′交AC于F.联结B′D,B′D与交AC的交点就是要探求的点M.作B′E⊥x轴于E,那么△BB′E∽△BAF∽△CAO.在Rt△BAF中,,AB=4,所以.在Rt△BB′E中,,,所以,.所以.所以点B′的坐标为.因为点M在直线y=3x+3上,设点M的坐标为(x,3x+3).由,得.所以.解得.所以点M的坐标

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