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《中学联盟福建省罗源第一中学2018届高三数学（理科）一轮复习练习：三角形的四心定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、三角形的四心定理一、三角形四心定义内心是三角形的三内角平分线交点.也是三角形内切圆的圆心.重心是三角形的三条屮线的交点.（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质•量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）外心是三角形的三边的垂直平分线的交点.三角形外接圆的圆心.垂心是三角形的三条高的交点注：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。二、三角形四心性质内心：1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一.2＞。为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的
2、三个顶点，延长A0交BC边于N,则有AO.ON二AB:BN=AC:CN=（AB+AC）:BC.重心：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.即重心到三条边的距离与三条边的长成反比.3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小.4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为兀］+兀2+兀3必+力+力)•外心：1、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的
3、中点重合.2、若0是ABC的外心，则ZBOC=2ZA（△为锐角或直角）或ZBOC=360°-2ZA（ZA为钝角）.3、外心到三顶点的距离相等.垂心：1、三角形外心0、重心G和垂心H三点共线，且OG:GH=1:2.(此直线称为三角形的欧拉线(Eulerline))2、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍.3、垂心分每条高线的两部分乘积相等.OAOB=OBOC=OCOA注:球的主要性质性质1.球的任意一个截面都是圆•其中过球心的截面叫做球的大圆，其余的截面都叫做球的小(1)若截面经过球心O.如图1,设4是
4、截面与球面的任意一个交点，连接0A.由球的定义可知，OA=R,所以点A的轨迹是以0为圆心,R为半径的圆，即该截面是圆.⑵若截面不经过球心O.如图1,设球心O在截面上的射影为Q,B是截面与球面的任意一个交点，连接0B和0、B,则OB=R为定值，且00
5、也为定值，所以0、B=jR2-00j为定值,因此，点3的轨迹是以q为圆心，O&为半径的圆，即该截面也是圆.性质2.球的小圆的圆心和球心的连线垂直于小圆所在的平面.反之，球心在球的小圆所在平面上的射影是小圆的圆心.如图2所示，若圆q是球o的小圆，则丄圆面q.证明：如图，设AB,CD
6、分别是圆q的两条直径，连接OA,OB,OC,OD,OO「依题意可得OA=OB,所以OO
7、丄AB.同理可得oq丄cd,又因为abAcd=o,,所以oq丄圆面q.性质3・如图2,设球O的半径为R,球O的小圆的圆心为q,半径为厂，球心O到小0［的距离00
8、=d,则由性质2得d=JR2-r2性质4.球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面，且经过球心.如图3,设球O的两个平行截面的圆心分别为q,Q，连接oq,00“由性质3可知，oq丄圆面q,又因为圆面q//圆面q,所以00i丄圆面。2•同理可得，oo?丄圆面且oo?丄圆面°?
9、，所以o,q,q三点共线，因此，qo?垂直于圆面q和圆面。2，且oeo,o2.性质5.球的直径等于球的内接长方体的对角线长.性质6.若直棱柱的所有顶点都在同一个球面上，则该球的球心0是直棱柱的两个底面的外接圆的圆心的连线的中点.例1.设三棱柱的侧棱垂肓于底面，所有棱长都为Q,顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()711(A)nee(B)-Tier(C)—Tier(D)57ra233例2•直三棱柱ABC-AEG的各顶点都在同一球面上.^AB=AC=A^=2,ZBAC=120°,则此球的表面积等于・性质7.设底面边长为侧棱长为
10、b的正四棱锥的顶点都在一个球面上，则该球的半径/?二例3.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球0的球面上，且AB=6,BC=2羽,则棱锥0-ABCD的体积为・性质8.设正三棱锥P-ABC的底面边长为侧棱长为b的所有顶点都在一个球面上，则该球的半径/?=b2(A)35(C)144龙例4•已知A,B是球0的球面上两点，ZAOB=90°,C为该球面上的动点•若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球0的表面积为（）⑻64龙(D)256龙例5・已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球。的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球0
11、的直径，且SC=2,则此棱锥的体积为()(A)—(B)—(C)—(D)—6632例6•—个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面.已知该六棱柱的顶点都在9同-个球面上，且该六棱柱的体积为Q底而周长为3,则这个球的体积为例7•已知球的直径SC=4,A、3是该球球面上的两点，AB=V3,ZA
