学案8函数的极值与导数

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1、一、知识目标〈1〉结合函数图彖，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值。二、复习回顾1、导数和两数单调性的有什么关系？2、用导数求函数单调区间有哪些步骤?三、新知探索【情境导入】观察下图，t=a吋，高台跳水运动员距水面高度最大.那么，函数/2(f)在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？(1)当t二a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数//(/)在处的导数是(2)当tG时，函数力⑴单调,h(t)_0;当t>a时，函数力

2、⑴单调_,h(t)_0,即当t在a的附近从小到大经过a时，h⑴,且h(r)连续变化，于是hz(a).【讨论】：对于一般的函数y=是否也有这样的性质呢？【探究】：观察右图所表示的y二f(x)的图象，回答以下问题(1)函数y=f(x)在"b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？(2)函数y二f(x)在a,b点的导数值是多少?(3)在a,b点附近，y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢？【新知】极值的定义：我们把点a叫做函数y=f(x)的,f(a)叫做函数y二f(x)的点b叫做函数y二f(x)的,f(b)叫做函数y二f(

3、x)的极大值点与极小值点称为，极大值与极小值称为极值.通过以上探索，你能归纳出可导函数在某点X。取得极值的充要条件吗？【练习】观察图1.3.10,回答以下问题：(2)极大值一定大于极小值吗?(图1.3.10)(1)找出图中的极点，并说明哪些点为极大值点,哪些点为极小值点？四、例题精析例1求函数/(x)=-x3-4x+4的极值变式：1、求函数/(x)=3x-x3的极值2、已知函数/(x)=GT?+b兀2—2兀在兀=—2/=1处取得极值,求函数/(兀)解析式及单调区间。【归纳】：求函数y=f(x)极值的方法是:求f(x)，解方程f(x)

4、=0,当f(x)=0时：(1)如果在X。附近的左边/(X)，右边/(X)，那么f(x°)是极大值.⑵如果在x0附近的左边f(x)，右边f(x)，那么f(xo)是极小值五、课堂练习求下列函数的极值.(1)/(%)=6%2-x-2(2)/(%)=%3-27%(3)/(x)=6+12x-x3六、小结1、函数极值的定义；2、函数极值求解步骤3、一个点为函数的极值点的充要条件。七、日日清1.“函数y=J(x)在一点的导数值为0”是“函数y=/U)在这点取极值”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.函

5、数J(x)=x3+ax2+3x-9,已知/U)在兀=一3时取得极值，贝9。=()A.2B.3C.4D.53.下列函数存在极值的是()A.『=丄B.y=x—erC・y=x3+x2+2x—3D.y=FX4.函数yw的定义域为开区间(a,b),导函数f(x)在(d,b)内的图象如图所示，则函数/«在开D.无极值区间(a,历内的极小值点有()A.1个B.2个C.3个D.4个5.已知函数》=兀一111(1+兀彳)，则y的极值情况是()A.有极小值B.有极大值C.既有极大值又有极小值6.设qER,若函数y=e”+av,%eR,有大于零的极值点，

6、则a的取值范围为7.若函数y=-x^+6x2+m的极大值等于13,则实数加等于.x3—21.求下列函数的极值.(1VU)=2(y—[)2；(2^v)=x2e"1.已知fix)=x3+^nx2—2mx—4(?n为常数，且加>0)有极大值一号，求m的值.2.(2010年高考安徽卷)设函数fx)=sinAr—cos^+^+1,0