2、3为公比的等比数列，即an=2-3灼.又an=2®，•:2©=2•3“,/.nk=3*+1；二、思考探究探究1：已知各项均为正数的等差数列｛色｝的公差d不等于0,设舛卫3，@是公比为q的等比数列｛化｝的前三项，(1)若k=7,a】=2(i)求数列｛anbn｝的前n项和Tn;(ii)将数列｛色｝和｛/｝的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列｛C”｝,设其前n项和为3,求Sf一22一】+3・2心(兄>2,nG^*)的值；(2)若存在n>k,meN"使得ax,a2t,ak,am成等比数列，求证k为奇数.解：(1)因为£=7,所以
3、4，®,©成等比数列，又｛色｝是公差〃工0的等差数列，所以(a】+2d『=4(坷+6d),整理得ci、=2d,乂a、=2,所以d=l,片=a、=2,^=—=—=6/
4、+=2,所以a“=%+(刃一l)d=〃+1,Z?”=勺Xq"T=2",片qa】①用错位相减法或具它方法可求得｛〃”｝的前川项和为Tn=nx2n+1:①因为新的数列｛c“｝的前2rt-n-l项和为数列仏｝的前2"-1项的和减去数列血｝前/7项的和，所以*2"一"一1(2"-1)(2+2“)2(2"-1)22-1-1).所以S，—一22rt_,+3•2心(n>2,ne
5、N^)=l.⑵由(％+2〃)2=%(如+仗—l))d,整理得4d2=a,d伙一5),因为dHO,所以〃仝"_5),所以^=aL=a1+2d_=k-3因为存在m>kjn^N使得a｝,a3,ak.am成等比数列，所以d也=仇4-a又在正项等差数列｛如｝屮，5=®+(加—l)d=5+山(加_：)伙_5),所以4+如(加_；)伙_5)=4(字),又因为⑷〉0,有2[4+(加—1)伙—5)]=伙—3)?,因为2[4+仙-1)伙-5)]是偶数,所以(—3)3也是偶数,即k_3为偶数,所以k为奇数.探究2：(1)是否存在不相同的三个数，使得
6、三个数既成等差数列乂成等比数列？(2)是否存在这样的三元素集，使得三个元素既成等差数列乂成等比数列？(3)已知四数⑷，如，如，血依次成等比数列，且公比g不为1・将此数列删去一个数后得到的数列(按原來的顺序)是等差数列，则正数q的収值集合是【提示】因为公比q不为1,所以不能删去血.设｛给｝的公差为d，则①若删去°2,则由2°3=41+他得2aib=a]+阳3,即2q2=l+g3,整理得g2(q—l)=(g—l)(q+l).乂qHl,则可得q—q+l,又q>0解得号运②若删去°3，则由2°2=。1+。4得2aiq=d]+di“，即
7、2q=1+q整理得q(q—)(q+)=q—.又q工1,则可得9(g+l)=1,又q>0解得g=_号車.综上所述，q=土号仍・【说明】本题主要考查等差数列等差中项的概念及等比数列中基本量的运算.(4)设a】,©，…，色是各项不为零的n(n>4)项等差数列，且公差dHO,若将数列删去某一项后，得到的数列(按原来顺序)是等比数列，所有数对弘鱼所组成的集合为.Id)探究3：给定一个数列｛如｝,在这个数列里,任取zn(/nM3,znWN*)项,并且不改变它们在数列｛為｝中的先后次序，得到的数列称为数列佃｝的一个加阶子数列.已知数
8、列佃｝的通项公式为⑦严*SGN*,。为常数)，等差数列。2,心，心是数列｛给｝的一个3阶了数列.(1)求a的值；(2)等差数列b
9、,加，…，bm是｛d“｝的一个加伽23,"7WN*)阶子数列，且b
10、=+伙为常数,MN*,（3）如果｛仇｝为数列仏｝的一个5项了列，且偽｝为等差数列，证明:｛htl｝的公差d满足-~11、一*=*一点’解得0=0-3分（2）设等差数列枷,b2fbm的公差为d.因为加=+'所以仇W计了，m—1锹+1).从而d=b2_b
12、W击一*=—詁刁・所以bm=b}+(in—1)dW*又因为加>0,所以土一丘吕>0・即tn—1VR+1.所以m
