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《5等差(比)数列通项问题的研究(2)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、专题：等差（比）数列通项问题的研究一、问题提出问题：若已知数列血｝的前〃项和为s”,且s,严⑷"",求证:数列血｝为等差数列.二、思考探究探究1：已知数列｛①｝的各项都为正数，且对任意都有此.严a”a”+2+k（k为常数）.（1）若k=（a2-a｝）2,求证：4，勺,。3成等差数列；（2）若£=0,且ESS成等差数列，求鱼的值；（3）已知为常数），是否存在常数2,使得色+色+2=加/曲对任意刃wN*都成立?若存在.求HU；若不存在，说明理由.1&解⑴当A-Cat-ai）1时•在恋和・2++上竹令"・1,得a；=a冋十尙几即aid>—2a冋+af=0.因为a】>0,
2、所以心一勿2*a】=0,即么2—血=6—如・2分（2）当怡=0时,恋十】=<2“卄?.因为数列｛a・>的各项都为正数，所以数列（a・?是等比数列.4分设公比为g（g>0）・因为心55成等茎数列•所以血+心=纽・即a：g+a；/=2a『因为a】>0・g>0・所以2g;+l=0.6分所以眷=?=】或薯=歼上产.8分（3）存在常数2=■—，使a.+a・+2=“・“.证明如下：因为丄+】=4"・”+怡•所以心勺十斤・丹工2•刃WN'•所以af*】一a：=a・a“2—弘-但“】,即心+1+47<2.“=42卫..i+af.10分由于©>0.此等式两边同除以卄:，12分所以毁
3、土£也=如込吐1=…=如士勺，厶札Q.az'即当n6N-,都有a.+时产啦出y因为ai=a・4产山％=2十+乩所以如=所以ab16分所以对任意n€N*，部疔a.+a“,=忌■*】■此时入=一•探究2：设非零数列a｝满足叩”+2=心+久（-1）用（刃丘m）.（1）当2=0时,求证:。”_也+初=，（“>m,且fn,neR+）.(2)当67j=h<72=2,A=3,求证：Q卄2=6+3°卄i・证明：(1)当几=0时，％7”+2=此
4、，所以｛勺｝是等比数列，设公比为9,{a}qn~y=a；,得证mri~亠亠~并一加一1亠n^m-则an_man+m=a}q・a、q(2)
5、由条件知冬二乞三7,由恥”+2=此+加-1严得Q”+2_Q”_0“+2°“-+3(_1)""幵+1幵£+1勺。；+1-S；-3(-1)"]所以数列｛纟%勺4是常数列,勺二3,整理即得％+2=%+3%・探究3：己知数列｛勺｝中，q=l,a产a,Ran+i=k(af1+an+2)对任意止整数都成立，数列⑺“｝的前斤项和为S”.(1)若k=—,且S20I5=2015(7,求q；(2)是否存在实数/：,使数列｛勺｝是公比不为1的等比数列，R对任意相邻三项%，%，5+2按某顺序排列后成等差数列，若存在，求出所有斤值，若不存在，请说明理由；(3)若k=--f求S”.2”解：(
6、])£=*时，％+]=*(匕+勺+2)，陽+2一°”+1=Q"+1_Q”，所以数列｛。”｝是等差数列，此时首项q=l,公差d=a2-ax=a-y数列｛a”｝的前/?项和是S”=/?+丄刃⑺一l)(aT),2故2015a=2015+丄x2015x2014(a—1),即0=1+^x2014(0—1),得°=1；22(2)设数列｛陽｝是等比数列，则它的公比q=^=a,所以%严〃，陽”皿曲，①若爲+i为等差中项,贝'J2aw+1=am+am+2,即2宀严+严,解得:a=l,不合题意;②若色为等差中项,则2%=%]+a*,即2am-]=am+am+i,化简得：a2+a-2
7、=0,m解得“一2冶,_鈕=严莎=耐③若％+2为等差中项，贝U2色+2=4曲+即2°曲=/+严=化简得:2a2-a-l=0,解得Q=_丄.k=—如^—=——=—^―=--2'%+%2厂+严1+；52综上可得，满足要求的实数比有且仅有一个，k=—；5（3）k=-^则陽+]=_ga+E+2），勺+2+勺+1二一（勺+1+°”），勺+3+勺+2=一（°”+2+勺+J=a”]+J，当巾是偶数时，sn=q+勺+$+©+・・・+匕_1+色=（q+勺）+（。3+0）+…+（%一1+色）nz、n.1X=-（6/!+t72）=-（＜7+l）,当Z7是奇数时,Sn=ax+a2+a3+
8、a4+•••+%+£=q+（勺+。3）+（印+他）+…+（陽・1+勺）+2（勺+如-¥）—1V）—1ax+[-（q+。2）]=1（674-1）,n=l也适合上式,（Q+l），巾是奇数综上可得，S”=n/1、評+1）,探究4：已知数列S”｝,其前/7项和为S”.（1）若｛乞｝是公差为R（〃＞0）的等差数列，且｛何不｝也是公差为d的等差数列，求数列｛乞｝的通项公式；（2）若数列｛%｝对任意刃，A7eN且加H/7,都有竺吐L=q”+%+汇匕，求证：数列匕｝是等差数m+nm-n列.解：（1）设bn=yjSfl+n,贝ljbn2=Sn+n,当Z7=1,2,3时，bj=§+
9、n=a{+
