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1、浅谈数列问题中的子数列淮安市吴承恩屮学王永成摘耍：子数列是数列问题中的一种常见题型，所谓子数列：就是由原数列的部分项构成的数列，在许多数列问题中，将原数列转化为了数列來研究，可以使解决问题更简单，其关键在于弄清址子数列中的项在原数列中的位置，即:ak为原数列中的第化项，而为了数列中的第〃项（项数变化，项不变化）。关键词：子数列疋文：鉴于不少原数列问题转化为子数列求解更简单，卜•面通过具体的例子来探讨子数列的应用例1：已知等差数列〔}的公差dxo,若成等比数列，求仏+弘+仏“?血+偽+久。分析：显然为原数列的了数列，利用成等比
2、数列，找出久，d的关系即可。解析:由。1也3说9成等比数列,Q1+Q3+Q9二+血+仏+久。3°]+13d16d16练习：若为等比数列，a^a^as成等差数列，求久+久+弘a2+a^a^例2：已知等差数列的公差d工0,为等比数列,其中仏=1盘2=5,£产17,求化分析：此题关键搞清楚子数列小的项在原数列小的位置，ak为原数列小的第化项，而为子数列中的第〃项。解析：由0，。5,久7成等比数列得到久=2〃旳=鱼=血巴=3,又Q为原数列中Qia{Kn的第化项，而为子数列中的第斤项。则aknp+（化-%=0・3二化=2・3，，_1-
3、1练习：在等差数列b］的公差d工0,仏是0也4的筹比中项，已知数列Qi，偽，。和弧'…‘仏'…成等比数列’求化°例3：在数列bj中，0=0,且对任意的kwN」2Sg成等差数列，其公差2k,求b“｝的通项公式分析：*56皿成等差数列，得到偽叶一血—产狄，转化为求子数列色2一｝的通项，然后由g—Clx=2k,求了数列的通项。解析：氓N成等差数列，且公差21则％如一％-产狄，运用累?加法得到a”产2—2k,又由血一g2k,得到a严k，所以a„=92f—2k,n=2k—,k=,2,…2j^2,/?=2k,k=1,2,…"变式1
4、：在数列中，a,=2n-,n=2k-.keN—27，求S”1ri—1也j=2R—l*=1，2,•…22—,/i=2k,k=1,2,…2点评：血㈠在原数列中排第2Rj项，在子数列中排第R项，要搞清楚它们在两个数列中的位置。分析：将b］转化为子数列：奇数列和偶数列来研究解析:an2—wN所以q3n—2,n=2k,kwN“Am"所以6k+2,n=2k.kgN“02—1+广1以一1当n=2kS广S?严e+d2+…a2匕1+^2）+（03+°4）+・・・（％1+%）=1（）（1+2+・心）_£=5£+4R当n=2k—1时,2S,=
5、Sik-=ai+'^a2k-x=Sik~aik=5k~~2k~2综上所述s”=5k'+4k,n=2k,kwN"5k'-2k-2,n=2k-,kw517+6/2—7之』,n=2k,keN45刃1+8z?$—,n=2k-,kwN变式2：数列仏｝满足$=o,弘=2,a*=（1+cos晋）久+4sin詈*N（1）求b“｝的通项公式(2)设S&=dl+d3+・・・+d2^，7=d2+d4+i+d2lW&=2Sk2+八求使得Wk>l的所有R的值。分析：（1）由6z1=0^2=2，aJ+2=（1+cos2-y）aI+4sin2-Y
6、^GN'易求得奇数列与偶数列的通项公式（2）实际上是奇数列与偶数列Z和解析：（］）0=Oa=2,a/Q+cos筈）a”+4siif号，处“得弘如—血t="心=4—4,类似可求得血=2*2n-2,n=2k-l.keN综上所述a„=_*2—=2k,kE.N（3）易求得”4=*,然后利用枚举法及数列的单调性即可求得R的值为3,4,5练习（2011山东高考）已知弘=2><3心血=久+（—1）"1叱”，求饥｝的前〃和S”例4:（2011如皋统测）设/（x）=^
7、^（x>0）,数列a］满足d广％广/（丄）（力2）Cln-（1）求
8、的通项公式、/予、川_］?（2）设7=。皿2一。2弘+。他一。也5+_+（一1）anan+if若対任意的〃w八厂恒成立，求/的范围。分析：（1）由©=1,么=/（丄）⑺上2）易求出b”｝的通项公式（2）提取偶数项转化为了数列来求解解析：(1)由Q=1,Q=/(——)(^2)易求出71-1a2n+1⑵a,=—^-4R-1*弋亠2=2—1,展N当n=2k-l9kEN‘时Tn~T2RT一(d]02—°2。3*一05Cl2kCl2l)—Cl2kCLlk++CLlkCllM提取偶数项则Tn=T2k-l=02(°】一03)+Q4(°
9、3一。5)+…+du(02—1—d"+】)+a2kfl2A+I,248匕+4R+3=一§(。2++•••+。2丿+a2ka2k+i=当〃=2k,kgN*时Tn~T2k(0102—0203+0304—0405Cllk-lClll)—CllkCllk+X~T2k-~CllkCtlk-¥二盼
