等差、等比数列的子数列的探究.doc

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1、等差、等比数列的子数列的探究一、定义子数列若数列是由数列的一些项按原来的顺序构成的一个新数列，则称数列是数列的子数列。二、讨论等差数列是否存在等差子数列1、学生举例：（1）设为常数），则任取一些项组成的数列都是等差子数列。（2）中有子数列等。（3）中有子数列等小结：只要首项不同，公差不同就可以确定不同的等差子数列。2、从具体的例子中小结出如何寻找等差子数列，以及子数列的公差和原数列的公差之间的关系，从而得出结论：（1）等差数列中下标成等差数列（公差为k）的项仍然成等差数列。（2）新的等差数列的公差等于原等差数列的公差的k倍。3．证明结论：设是等差数列，d是公差，若是子数列的相邻两项，，当为常

2、数时，也是常数。三、讨论等比数列是否存在等比子数列1、学生举例：（1）设为常数），则任取一些项组成的数列都是等比子数列。（2）中有子数列和等。（3）中有子数列等。小结：只要首项不同，公比不同就可以确定不同的等比子数列。2．从具体的例子中小结出如何寻找等比子数列，以及子数列的公比和原数列的公比之间的关系，从而得出结论：（1）等比数列中下标成等差数列（公差为k）的项仍然成等比数列。（2）新的等比数列的公比等于k个原等比数列的公比的积。3．证明结论：设是等比数列，q是公比，若是子数列的相邻两项，，当为常数时，也是常数。四、讨论等差数列是否存在等比子数列1。学生举例：=n中有子数列=和=等。（自然数

3、列是学生最容易想到的，除了自然数列之外，其他的数列不容易想到）2给出一个例子一起研究。例1．已知：等差数列，且。问：等差数列中是否存在等比子数列？（1）写出的一些项：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，…，学生尝试后找出结果有：①2，8，32，128，512，…，②2,14,98,686,4802,…，;③2,20,200,2000,…，④5,20,80,320,…，;⑤2,26,338,…，(2)猜想：①；②；③；④；⑤（3）提问：这些猜想是否正确呢？我们可以从两个方面进行思考：通过演绎推理证明猜想为真，或者找出反例说明此猜想为假，从而否定或修正此猜想。（4）学生分

4、组证明猜想分析：的项被3除余2，从而得出利用二项式定理证明的方法。证1：（用二项式定理）∵，即除以3余2，∴是的子数列。分析：由前面几项符合推广到无穷项都符合，从而得出利用数学归纳法证明的方法。证2：（数学归纳法）①当n=1时，②假设当n=k时，，那么当n=k+1时，.由①、②得是的子数列。（5）同理证明，（4）引申：让学生找规律——以中任一项为首项，以为公比的等比数列均是该等差数列的等比子数列（5）小结：归纳法是从特殊到一般的推理方法，而由此所作出的猜想是需要进一步证明的。从归纳猜想到论证的思维方法是我们研究数学问题常用的方法。（6）思考：对给定的等差数列可以构造出等比数列，不确定的等差数

5、列中是否存在等比数列？例2已知：数列是首项公差是d的等差数列。数列是等比数列，且。问：是否存在自然数d，使得数列是数列的子数列？如存在，试求出d的一切可能值分析：先取d=1，2，3，4，5，6。发现当d是奇数时，不可能。∵是奇数，∴公比为分数，则从第三项开始就不是自然数取d=2，：2，4，6，8，…，：2，4，8，16，…，是偶数，∴d=2时，数列是数列的子数列取d=4，：2，6，10，14，18，…，：2，6，18，54，…，，∴d=4时，数列是数列的子数列。同理d=6时，数列也是数列的子数列。由此猜想当时，数列是数列的子数列。可以用二项式定理或数学归纳法证明。证1：（用二项式定理）在中，

6、在中，=2，。令则=，可解出即为中的某一项。证2：（数学归纳法）①当n=1时，；②假设是的第p项，即则=2+即是中的第m（p-1）+p+1项。由①、②得，数列是数列的子数列。小结：这个问题的解决还没有完成一般情况的讨论。一是首项可以不确定，二是子数列并非要前面两项相同一、课后思考（1）例2中，若呢（（2）若不确定呢？（？（3）等比数列是否存在等差数列？奉贤区致远高级中学高二数学竞赛试题（2006年5月）一、填空题（本题16小题，每小题4分，共64分）1．函数在时的单调递增区间是_______________.2．一个等差数列共有12项,前4项的和是10,后4项的和是4,则中间4项的和是___

7、________.3．定义在上的奇函数,在上是增函数,若,则的取值范围是_____________4．已知函数，则函数的最大值与最小值之差是_________________5．函数的值域是___________6．已知个向量的和为零向量,且其中一个向量的坐标为,则其余个向量和的模是_____________7．若是方程的根,则的值是_________8．若双曲线的右支上有一点到直线的距离为,则9．如图，正四