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《等差等比数列子数列探究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、等差、等比数列地子数列地探究一、定义子数列若数列｛仇｝是由数列｛色｝地一些项按原来地顺序构成地一个新数列，则称数列｛仇｝是数列仏｝地子数列.二、讨论等差数列是否存在等差子数列1、学生举例：（1）设色=Q（Q为常数），则任収一些项组成地数列都是等差子数列.（2）an=比屮有子数列仇=2n-l,bn=2n,bn=5〃等.391（3）an-—n-中有子数列仇=3n-,bn=—rt+—等222小结：只要首项不同，公差不同就可以确定不同地等差子数列.2、从具体地例子中小结出如何寻找等差子数列，以及子数列地公差和原数列地公差之间地关系，从而得出结论：（
2、1）等差数列中下标成等差数列（公差为k）地项仍然成等差数列.（2）新地等差数列地公差等于原等差数列地公差地k倍.3、证明结论：设｛%｝是等差数列，d是公差，若％,色是子数列地相邻两项，an-am=（n-ni）d.当n-m=k为常数吋，an-am=（n-m）d=£d也是常数.三、讨论等比数列是否存在等比子数列1、学生举例：（1）设an=a（a为常数），则任取一些项组成地数列都是等比子数列.（2）色=2”中有子数列bn=22""1和bn=25n等.（3）色=2.（护中有子数列仇=2・（存等.小结：只要首项不同，公比不同就可以确定不同地等比子数列.2
3、.从具体地例子中小结出如何寻找等比子数列，以及子数列地公比和原数列地公比之问地关系，从而得出结论：（1）等比数列中下标成等差数列（公差为k）地项仍然成等比数列.（2）新地等比数列地公比等于k个原等比数列地公比地积.3•证明结论：设是等比数列，q是公比，若色“,色是子数列地相邻两项，仏=q",当a.nn-m=k为常数时，仏=qn~m=qk也是常数.四、讨论等差数列是否存在等比子数列1.学生举例：Q”=n中有子数列hn=r-｛和仇=3门等.(自然数列是学生最容易想到地，除了自然数列Z外，其他地数列不容易想到)2给出一个例子一起研究.例1.己知：等差
4、数列且an=3n-l.问：等差数列｛%｝中是否存在等比子数列写出｛%｝地一些项：2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,…，学生尝试后找111结果有：①2,8,32,128,512,…，2・4心；②2,14,9&686,4802,…，2・7"T;③2,20,200,2000,…，2・10心；④5,20,80,320,…，5・4心；⑤2,26,338,…，2-13,,_1(2)猜想：①“=2・4灯；②匕=2・7心；③“=2・10心；④“=5・4心；⑤=2iy1(3)提问：这些猜想是否正确呢？我们可以从两个方面进行思考：通过演绎
5、推理证明猜想为真，或者找出反例说明此猜想为假，从而否定或修正此猜想.(4)学生分组证明猜想分析：2・4心地项被3除余2,从而得出利用二项式定理证明地方法.证1：(用二项式定理)・.・2•4曲=2・(3+1)”"=2•(3上+1)=6比+2伙wN),即2•4“除以3余2,・・・｛q｝是仏｝地子数列.分析：由前面儿项符合推广到无穷项都符合，从而得出利用数学归纳法证明地方法.证2：(数学归纳法)①当n=l时，q=2=3x1—1=4②假设当n二k时，q=22A_1=3m-1=am(mgN),那么当n二k+1时，q+1=22(2i=2”+i=4-22^=
6、4-(3m-1)=3-(4m-1)-1=印〃,_.由①、②得｛cn｝是｛色｝地子数列.(5)同理证明-=2・7心=2・(6+l)g=3k+2,keN;cH=2・l(r】=2-(9+If1=3k+2,kwN心=5・4心=5・(3+l)”」=3k+2,"N;c“=2・13灯=2・(12+l)z=3E+2,"N.(3)引申：让学生找规律一一以色屮任一项为首项，以3比+1伙wN)为公比地等比数列均是该等差数列地等比子数列小结：归纳法是从特殊到一般地推理方法，而市此所作出地猜想是需要进一步证明地.从归纳猜想到论证地思维方法是我们研究数学问题常用地方法.(
7、8)思考：对给定地等差数列可以构造出等比数列，不确定地等差数列中是否存在等比数列？例2已知：数列｛〜｝是首项4=2,公差是d地等差数列.数列｛仇｝是等比数列，且b｝=a^b2=a2.问：是否存在自然数d,使得数列彼｝是数列仏｝地子数列？如存在,试求出d地一切可能值分析：先取*1,2,3,4,5,6.发现当d是奇数时，不可能.・・・。2是奇数，二公比牛为分数，则仇=2•(牛)心从第三项开始就不是自然数取d=2,｛an｝：2,4,6,8,…，｛仇｝：2,4,8,16,…，an=2n.bn=2v2H是偶数,.d=2吋，数列｛仇｝是数列｛%｝地子数
8、列取d=4,｛a”｝：2,6,10,14,18,…，｛/?”｝：2,6,18,54,…，an=4n-2,hn=2・3心=2・(4一1)心=2・(4R±
