等差数列及等比数列探究

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1、羆肀艿蒀聿莆薈葿螈腿蒄蒈袁莄莀蒈羃膇芆蒇肅羀薅薆螅膅蒁薅袇羈莇薄聿膃莃薃蝿肆艿薂袁节薇薂羄肅蒃薁肆芀荿薀螆肃芅虿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀芇蒆蚆袂腿莂蚆羅莅芈蚅肇膈薆蚄螆羁蒂蚃衿膆莈螂羁罿芄螁蚁膄膀螀螃羇蕿螀羅芃蒅蝿肈肅莁螈螇芁芇螇袀肄薆袆羂艿蒂袅肄肂莈袄螄芇芄蒁羆肀艿蒀聿莆薈葿螈腿蒄蒈袁莄莀蒈羃膇芆蒇肅羀薅薆螅膅蒁薅袇羈莇薄聿膃莃薃蝿肆艿薂袁节薇薂羄肅蒃薁肆芀荿薀螆肃芅虿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀芇蒆蚆袂腿莂蚆羅莅芈蚅肇膈薆蚄螆羁蒂蚃衿膆莈螂羁罿芄螁蚁膄膀螀螃羇蕿螀羅芃蒅蝿肈肅莁螈螇芁芇螇袀肄薆袆羂艿蒂袅肄肂莈袄螄芇芄蒁羆肀艿蒀聿莆薈葿螈腿蒄蒈袁莄莀蒈羃膇芆蒇肅羀薅薆螅膅蒁薅

2、袇羈莇薄聿膃莃薃蝿肆艿薂袁节薇薂羄肅蒃薁肆芀荿薀螆肃芅虿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀芇蒆蚆袂腿莂蚆羅莅芈蚅肇膈薆蚄螆羁蒂蚃衿膆莈螂羁罿芄螁蚁膄膀螀螃羇蕿螀羅芃蒅蝿肈肅莁螈螇芁芇螇袀肄薆袆羂艿蒂袅肄肂莈袄螄芇芄蒁羆肀艿蒀聿莆薈葿螈腿蒄蒈袁莄莀蒈羃膇芆蒇肅羀薅薆螅膅蒁薅袇羈莇薄聿膃莃等差数列及等比数列探究摘要：高中数学课程中,《数列》一章很受学生的欢迎。经过多年对该章教学后的调查，得出其中的原因：1、等差数列、等比数列的内容富有趣味性；2、学生在学习过程中感受到数学美；3、学生学习兴趣高，争当解决问题的能手；4、学生能利用知识，解决实际生活中的问题。关键词：构造、推广、引伸为

3、了能使这种数学美延续下去，本文对等差数列及等比数列探究。我们知道等差（比）数列的本质属性是与（n∈N+）的差（比）是同一个常数，这个本质属性有时会遗传到在由等差（比）数列构造而得的新数列中，而有时在构造的新数列中会失去这个本质属性，以致产生变异，有时还会突然失去等差、等比的特性，变成一个一般的数列。一、等差数列的构造（一）若数列是公差为的等差数列，则由此构造出的以下数列是等差数列，如：(1)去掉前面k项后余下项组成的仍为公差为的等差数列。考察余下的项组成的数列，第项与第项的差：（常数），因此，余下的项组成了一个新的等差数列。首项为：=，公差为；第项为：；前项和：

4、。(2)①所有的奇数项组成的是公差为的等差数列。考察新数列，假定原数列的第项为奇数项，第项也为奇数项10因此，这个新数列是一个等差数列，公差为：2，首项为，第项为：，前项和。同理：②所有的偶数项组成的是公差为的等差数列。考察新数列，假定原数列的第项为偶数项，第项也为偶数项因此，这个新数列是一个等差数列。公差为：2，首项为：，第项为：，前项和。(3)①数列（其中是常数，且）都是等差数考察新数列，因为，所以新数列（其中是常数，且）是一个等差数列，公差为，首项为：，第项为：，前项和：由此我们可得到的一般性结论是：②凡是项的序号成等差数列（公差为）的项依次组成的数列一定

5、是等差数列，公差为。10设组成的新数列，首项为：，第项为：，第项为：则-=所以新数列是一个等差数列，公差为：。前项和：(4)数列（其中是任一个常数）是公差为的等差数列。若c=0，显然成立。若c≠0，考察新数列，首项为：，第项为：，我们看第项与第项的差：，因此，新数列是一个等差数列，公差为。第项，=前项和：(5)数列（其中是任一个常数）是公差为的等差数列。10若c=0，显然成立。若c≠0，考察新数列，首项为：+c，第项为：+c，()-()==d，因此，新数列是公差为d的等差数列。第项，+c=。前项和：n(。(6)数列（其中是常数，且）是公差为的等差数列。若k=0，

6、则新数列{2}，公差为2d，由(4)显然成立。若k≠0，则新数列，首项为：，第n项为：，考察第n项与第n-1项的差，()-()==d+d=2d，因此，新数列是一个等差数列，公差为：2d。第n项为：=2前n项和：2。(7)若是公差为等差数列，且为常数，则数列一定是公差为的等差数列．考察新数列，首项为：p+q，第n项为：，第n项与第n-1项的差：()-()==pd+q，因此，这是一个等差数列，公差为：pd+q。10前n项和：。(8)等差数列中，任意连续项的和是它前面连续项的和与它后面连续项的和的等差中项，也就是说这些连续项的和也构成一个等差数列。构造新数列：(m为常

7、数，m∈N+)，，……考察第n项与第n-1项的差，]-[]=k2d因此，{}是一个等差数列，公差为：k2d。二、等比数列的构造若是公比为(q≠1)的等比数列，则由此构造出的以下数列是等比数列。如：(1)去掉前面几项后余下项组成的仍是公比为的等比数列。设构成的新数列，首项为：，第n项为：；考察第n项与第n-1项的比，q，因此，这是一个公比为q的等比数列。第n项：；10前n项和：。(2)项的序号成等差数列（公差为）的项依次取出并组成的数列一定是等比数列，公比为。设首项为，则第n项为：；考察第n项与第n-1项的比，，因此，这个数列是一个等比数列，公比为qk。第n项：=

8、；前n项和：。(3)数列