类比探究等差数列和等比数列的性质

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1、类比探究等差数列和等比数列的性质上海市桐柏高级中学李淑艳马莉上海市普陀区教育学院刘达一、案例背景本课的教学内容是上海市高中课本《数学》（华东师范大学出版社）高中二年级第二学期《数列与数学归纳法》章节的数列性质探究课。上海市《中小学数学课程标准（试行稿）》提出：普通中小学课程的基本观念是以学生发展为本，坚持全体学生的全面发展，关注学生个性的健康发展和可持续发展。并指出：“关注学生学习的过程，通过创设学习情境，开发实践环节和拓宽学习渠道，帮助学生在学习过程中体验、感悟、建构并丰富学习经验，实现知识传承、能力发展、积极情感形成的统一”。在顾泠沅博士的“三个阶段、二次反思、行动跟进”的行动教育研

2、究模式下。本课例从“背景研究”，“教学实践”和“评价反思”，都是在“以学定教”原则的基础上的。从教材体系来看，等比数列概念的学习就渗透类比的研究方法，鉴于学生的实际水平及乐于思考新问题的特点，我们设置了有一定层次的供类比的数列问题，同时也对学生学习过程可能出现的情况进行了预测。同时根据学生目前现状，以及教材内容收集、整理、提炼利用类比的思想方法，研究数列中问题等有关素材，在自我理解的层面上设计教学目标、教学思路及手段、教学过程，先进行第一次教学尝试，然后进行反思；再请专家、教研员、教研组长、全体组员在听取本人的设计初衷及反思后进行全方位的再设计与指导，而后开设公开课进行教研，在系统评价的

3、基础上，再进行第二次实践；第三次看目标的达成度与教师理念的转变、教学经验与教训的总结。我们就是按照这种“行动教育”模式开展课堂教学研究的。二、目标分析本课教学目标的确定围绕着“类比——发现——自悟”的研究性学习课堂教学模式。探索如何运用研究性学习的学习模式在《等差数列和等比数列的性质探究》教学中融合类比的探究方法，自主开展的探究式的发现学习。教学目标在初步掌握等差、等比数列的概念及部分性质的基础上，通过类比，继续寻找等差、等比数列的一些性质；性质的类比经历运用类比思想方法研究数列问题的过程，体验“大胆猜想——小心论证”的严谨的数学发现历程。研究方法的类比本课希望通过“类比——发现——自悟

4、”的教学模式，引导学生体会类比在数学教学中的三个维度：“一维——知识结构上的类比；二维——证明方法上的类比；三维——学生自主的理性思想方法的类比。”三、教学流程首先通过科学事实——鲁班造锯的典故引入类比思想，然后提出第一维问题（以回顾的形式对比出现）：数列等差数列等比数列定义通项公式中项公式若，若，简单性质若，若，通过这一回顾，学生能从“第一维”层面上开展类比学习，体会等差数列和等比数列在概念形式上的相似之处。在基本认识了类比探究方法之后，教师通过问题提升本节探究课活动性和探究性，设置了若干性质探究的问题供学生思考。问题1：在等差数列中，若项数数列是等差数列，则仍是等差数列。类比：若是等

5、比数列，当是________数列时，是________数列。问题一是在学生已掌握“数列是等差数列，对中下角标成等差数列的项也成等差数列”这一性质后，将“文字语言”转化成“符号语言”，让学生来类比等比数列中相应的性质，并加以证明。学生一方面从形式上加以类比，另一方面，从证明方法上也进行类比证明。这样的问题，在学生理解性质后，初步体验了发现问题并解决问题的“类比”方法。问题一结束后，启发引导学生如何类比并得到正确结论？经历运用类比思想方法研究数列问题的过程。问题2：有一位同学发现：若为等差数列，则也成等差数列。由此经过类比，他猜想：若为等比数列，则、也为等比数列。你认为呢？问题二是一道开放性

6、问题，有近85%的学生最初得到了、也为等比数列，并有部分同学给予了“证明”。学生初步感觉到“和”与“积”的类比，“差”与“商”的类比。此时，教师再抛出一个问题：“积”为等比数列，那么“和”呢？在你证明完“积”为等比数列后能说明“和”不是等比吗？对于这一问题，学生根据前面两个问题的解决已经隐约体验到类比不但是形式上的模仿，其证明方法、考虑角度也可进行类比，说明这种思考问题的方法已不自觉地纳入他们的思维体系之中，下面是一段课堂实录：师：对刚才问题，同学可以得到什么结论？生1：我判断并证明了等比数列的“和”仍然是等比数列，且公比什q。（师环视四周，似乎每个人都投以赞同的目光，并且频繁点头表示同

7、意）。生2：我有点不同意（全班只有他一人有不同意见），我觉得，对数列-1，1，-1，1，…这个数列来说，其和不是等比数列。（此时全班恍然，都认为是正确的）师：我们来看一下生1的证明过程（投影仪）：，是等比数列。你们看证明过程严密吗？生3：当q=－1时，他的第二步不成立。（此时同学们又都给予肯定）。师：答得好。本来我们不知道这一反例，但在证明过程中发现了问题的存在，由此找到了反例，说明同学们在发现问题时，能够进行大胆猜想、小心论证的严