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1、______________________________________________________________________________________________________________等差、等比数列的子数列的探究一、定义子数列若数列bn是由数列an的一些项按原来的顺序构成的一个新数列，则称数列bn是数列an的子数列。二、讨论等差数列是否存在等差子数列1、学生举例：（1）设ana(a为常数），则任取一些项组成的数列都是等差子数列。（2）ann中有子数列bn2n1,bn
2、2n,bn5n等。（3）an3n1中有子数列bn3n1,bn9n1等222小结：只要首项不同，公差不同就可以确定不同的等差子数列。2、从具体的例子中小结出如何寻找等差子数列，以及子数列的公差和原数列的公差之间的关系，从而得出结论：（1）等差数列中下标成等差数列（公差为k）的项仍然成等差数列。（2）新的等差数列的公差等于原等差数列的公差的k倍。3．证明结论：设an是等差数列，d是公差，若am,an是子数列的相邻两项，anam(nm)d，当nmk为常数时，anam(nm)dkd也是常数。三、讨论等比数列是
3、否存在等比子数列1、学生举例：（1）设ana(a为常数），则任取一些项组成的数列都是等比子数列。（2）an2n中有子数列bn22n1和bn25n等。（3）an2(1)n1中有子数列bn2(1)n等。39小结：只要首项不同，公比不同就可以确定不同的等比子数列。2．从具体的例子中小结出如何寻找等比子数列，以及子数列的公比和原数列的公比之间的关系，从而得出结论：（1）等比数列中下标成等差数列（公差为k）的项仍然成等比数列。（2）新的等比数列的公比等于k个原等比数列的公比的积。3．证明结论：设an是等比数列，
4、q是公比，若am,an是子数列的相邻两项，anqnm，当amnmk为常数时，anqnmqk也是常数。am四、讨论等差数列是否存在等比子数列1。学生举例：an=n中有子数列bn=2n1和bn=3n1等。精品资料______________________________________________________________________________________________________________（自然数列是学生最容易想到的，除了自然数列之外，其他的数列不容易想到）2给出一
5、个例子一起研究。例1．已知：等差数列an，且an3n1。问：等差数列an中是否存在等比子数列cn？（1）写出an的一些项：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，⋯，学生尝试后找出结果有：①2，8，32，128，512，⋯，4n1;②2,14,98,686,4802,⋯，227n1;③2,20,200,2000,⋯，210n1;④5,20,80,320,⋯，54n1;⑤2,26,338,⋯，213n1(2)猜想：①cn24n1；②cn27n1；③cn210n1；④cn54n1；⑤c
6、n213n1（3）提问：这些猜想是否正确呢？我们可以从两个方面进行思考：通过演绎推理证明猜想为真，或者找出反例说明此猜想为假，从而否定或修正此猜想。（4）学生分组证明猜想分析：24n1的项被3除余2，从而得出利用二项式定理证明的方法。证1：（用二项式定理）∵24n12(31)n12(3k1)62(kN)，即24n1除以3余2，k∴cn是an的子数列。分析：由前面几项符合推广到无穷项都符合，从而得出利用数学归纳法证明的方法。证2：（数学归纳法）①当n=1时，c12311a1②假设当n=k时，ck22k1
7、3m1am(mN)，那么当n=k+1时，ck122(k1)122k1422k14(3m1)3(4m1)1a4m1.由①、②得cn是an的子数列。（5）同理证明cn27n12(61)n13k2,kN;cn210n12(91)n13k2,kN,cn54n15(31)n13k2，kN;cn213n12(121)n13k2,kN.精品资料_______________________________________________________________________________________
8、_______________________（6）引申：让学生找规律——以an中任一项为首项，以3k1(kN)为公比的等比数列均是该等差数列的等比子数列（7）小结：归纳法是从特殊到一般的推理方法，而由此所作出的猜想是需要进一步证明的。从归纳猜想到论证的思维方法是我们研究数学问题常用的方法。（8）思考：对给定的等差数列可以构造出等比数列，不确定的等差数列中是否存在等比数列？例2已知：数列an是首项a12,公差是d的等差数列。数列bn是等比数列，且b1a1
