浅谈构造法在数列问题中的应用

《浅谈构造法在数列问题中的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、浅谈“构造法”在数列问题中的应用金峰在高中数学中，数列的内容不多，但在高考中，数列内容却占有重要的地位。主要内容有一般数列的概念与性质，等差数列与等比数列，及其通项公式与前n项和公式．高考历来把数列当作重要的内容来考查，对这部分的要求达到相应的深度，题目有适当的难度和一定的综合程度．数列问题在考查演绎推理能力中发挥着越来越重要的作用．在高考中，基本上考数列必考递推数列.而从递推公式得到数列的通项公式是解决数列问题的关键，也是问题的难点，怎样解决这些问题呢？在很多时候使用构造法应当是解决这种问题的一种较好的方法。下面，我们介绍几种常见的“构造

2、法”解决数列的问题的方法.一、对于简单的的递推关系，我们可以构造一个新的数列，可知必为等比数列，我们可以用待定系数法确定的值。例在数列中，已知，（1）求的通项公式；（2）求的前项和.解：我们不妨构建一个新的数列，则可化为由待定系数法可解得为等比数列，且首项，公比（2）二、若已知的递推关系,不妨构建一个新数列(为常数),,则必为等比数列.例:已知数列的前n项和满足：⑴写出数列的前三项⑵求数列的通项公式.解:(1)不难求出:，，。（2）两式相减可得：不妨构造数列故上式可化为展开可得：为公比为2，首项为的等比数列。数列的通项公式为：三若已知的递推

3、关系,不妨构造一个新数列,则必为等差数列。例：在数列中，，求数列的通项公式。解：（分析：只需将式子左右两边同时除以，便可以构造一个新的数列）左右两边同时除以得：既：数列为一个等差数列：其首项为，公差为1。四．若已知的递推关系,不妨构建一个新数列,则必有特殊的性质。例：（2009年全国卷Ⅰ）在数列中，（1）、设，求的通项公式。（2）、求的前项和。分析：此题目为降低难度，令，事实上，已经给了我们一个思考的方向，即构建一个新数列。解：左右两边同除以可得：即将上述个式子迭加可得：（2）我们利用分组求和和倒序相加法，可以求得数列的前项和五、若已知满足

4、，，则可构造一个新数列,则原式可化为：，其中可用待定系数法求出。然后可以求出的通项公式。例：（2009年全国卷Ⅱ）在数列中，的前项和为，（1）设，求证：数列是等比数列。（2）求的通项公式。分析：此题目为降低难度，令，事实上，也已经给了我们一个思考的方向，即构建一个新数列。解：（1）两式相减可得：又，数列是一个等比数列。首项为3，公比为2。（1）由（1）可知：（分析：这属于我们前面讨论过的第三种形式，只需将式子左右两边同时除以，便可以构造一个新的数列。左右两边同除以得：数列为等差数列，其首项为，公差为六、若满足（为常数），则可构造一个新数列,

5、则原式可化为：，数列必为等差数列。我们可以求出的通项公式，然后可以求出的通项公式。例：数列满足，（1）、求证：数列是等差数列。（2）求数列的前和。解：由整理得：左右两边同时除以可得：又数列是以1为首项，公差为2的等差数列（2）、由（1）可知，总之，要解决递推数列的问题，一般要完成从递推公式到通项公式的转化.除,这样简单的式子以外,我们都要构造新的数列才能找到它们之间的规律.而怎么去构造新的数列这是一个思路很广的问题,以上讨论的这些仅仅是冰山一角.更多的方法需要我们更多的人去总结和发现.