2、酋项，3为公比的等比数列，BPan=2•3々+
3、.Xci„=2nk,2nk=2•3^+,,/.nk=3A+1；AK二、思考探究探究1:已知各项均为正数的等差数列的公差d不等于0,设4,6Z3，七足公比为q的等比数列仲d的前三项，(1)若k=7，a｝=2(i)求数列｛人么｝的前n项和Tn;(ii)将数列和仲,,｝的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列，设其前n项和为Sn，求22'卜1+3.2'卜1(M>2,/ze7V*)的值；(2)若存在jV*使得成等比数列，求证k为命数.解:(1)因为jfc=7,所以成等比数列,又｛d,,｝是公差的等差
4、数列，所以(q+2^/)2=q+6dQ，整理得4=2^/，乂％=2，所以3=1，/?,=6/,=2,ty=—=—=+—2,所以〜=%+(/2-l)t/=z?+l，Z?"=/?,xg"_1=2"，bi①川错位相减法或其它方法可求得^人1的前项和为7；=nx2"+1;①因为新的数列｛cj的前2"-«-1项和为数列｛t/J的前2"-1项的和减去数列队｝前n项的和，所以S2n-n-l=(2〒-勞=(—)•所以22w_1+3•2”—1(n>2,ne/V*)=l.(2)由,+2<7)2=%(%+(々—l))d，整理得4d2—5)，因为所以=一5)，k
5、-34«,cix2因为存在zn〉/:，，neyv*使得6/,，％，久，tzw成等比数列，所以6ZW=a'q)=a、又在正项等差数列｛〜｝屮，=%+(m-l)d=%+所以巧+“1⑽_5）=AI,又因为％〉0,有2[4+（，n-l）（々-5）]=（々-3）3,因为2[4+(m-l)(々-5)]是偶数，所以0-3)3也是偶数，即仑―3为偶数，所以々为奇数.探究2:(1)楚否存在不相同的三个数，使得三个数既成等差数列乂成等比数列？(2)是否存在这样的三元素集，使得三个元素既成等差数列乂成等比数列？(3)已知凹数川，化，化，沟依次成等比数列，且公
6、比ty不为1.将此数列删去一个数后得到的数列(按原來的顺序)是等差数列，则正数g的取值集合是【提示】因为公比g不为1，所以不能删去«4.设｛%｝的公差为A则①芳删去fl2，则由2«3=6Z
7、+“4得2叫2=硐+(/
8、《3，即2g2=l+g3，整理得^^一1)=~一1^+1).乂q^，则可得7=又g〉0解得②删去“3，则山26f2=di+“4得+“103，即整理得<7(0—1)(^4-1)——1.又戸，则可得6加+1)=1,又V〉0解得t/二二^^.综上所述，q=±X^5.【说明】本题主耍考杏等差数列等差中项的概念及等比数列中基本S:的运
9、算.(4)设4,6/2，…，么足各项不为零的<7724)项等差数列，且公差若将数列删去某一项后，得到的数列(按原来顺序)是等比数列，所科数对所组成的集介为探究3:给定一个数列｛60，在这个数列里，任取m(m>3，mEN*)项，并且不改变t们在数列中的先后次序，得到的数列称为数列■｛以的一个zn阶子数列.已知数列UU的通项公式为0EN*，t/为常数)，等差数列〃2,叫是数列的一个3阶子数列.(1)求6/的值；(2)等差数列/?
10、，/?2，…，Z?〃，是｛%｝的一个w(/?2彡3，m^N*)阶子数列，iZ?i=i(A力常数，AEN*，k》2)
11、，求证：tn^k+；(2)如果｛/7,J为数列的一个5项子列，且｛/，,,｝为等差数列，证明：九｝的公差6/满足-丄<6/<08(3)等比数列c2，…，^是批^的一个//?^^^，inN*)阶子数列，求证：Ci+c2Hhc,„彡2—^TT.解：(1)因为£?2,幻，“6成等差数列，所以“2—幻=内一6f6.又w为6,2=a(^=^hf代入得1^_5^=1^一^?解得《=0.3分(2)设等差数列fc2,…,bmffy公差为d.因为Z?i=^，所以/?2彡^^"［，从而d=b2—bi^k+kk(k+y丄m—1~k~k(k+\又因为么,
12、〉0,所以
13、一#^y〉o.即in—1Z?
14、>/?2〉办3〉知4〉办5〉0，所以d=b2—b'
