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《1子数列问题的研究(1)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、专题：子数列问题的研究（1）一、问题提出问题1:己知数列｛色｝满足乙+%]=2/7+1（応矿），求证：数列｛%｝为等差数列的充要条件是⑷=1.问题2：已知正项数列仏｝满足=22川（兀矿），求证：数列｛%｝为等比数列的充要条件是①=2.二、思考探究探究1：己知数列｛為｝满足，d“+i+a”=4n—3（nWN*）•（1）若数列｛為｝是等差数列，求©的值;（2）当°]=2时，求数列｛禺｝的前〃项和S“；（3）若对任意圧N；都有^2+^2>20h-15成立，求⑷的収值范围.（1）若数列｛如｝是等羌数列，WJan=di+（M—l）d,a”+i=CI+nd.由d”
2、+i+a“=4n—3,得（G]+nd）+[G]+（n—l）d]=4n—3,即2d=4,2a—d=4—3,解得，d=2,d]=—*.（2）由an+i+a,t=4n—3,得.an+2+^n+i=4n+1（nN）.两式相减，得如2—4】=4・所以数列@2”」｝是首项为⑷，公差为4的等差数列，〃为奇数,〃为偶数.数列仏2”｝是首项为心公差为4的等差数列，rhci2^~ci=i9d]=2,得。2=—】•所以①当料为奇数时，则an=2n,an+i=2n—3.所以S“=di+Q2+…+给=(。1+02)+(。3+。4)+…+(%2+%1)+给=]+9+・・・+(4
3、〃一ll)+2n=2n~3n+5.②当料为偶数吋,Sn=a]+心+•••+d”=(ai+02)+(如+。4)+•••+(%i+给)=l+9+・・・+(4n_7)=2"所以必=<2zr+5,川为奇数,(3)由(2)知，an2n~2+ayn为奇数,2n—3—dpn为偶数•①当n为奇数时，d〃=2n—2+di，给+i=2〃一1—a由>20m—15,得a2—a>—4n2+16n—10.因为一4,r+16/?—10=—4(/?—2)2+6<2,当n=l或3时,[-4(«-2)2+6]^=2.所以«
4、2-«i>2.解得©N2或°芒一1・②当n为偶数时,an=2
5、n—a—3fan=2n+a.山由+d”+jN20“一15,得a/+3t/j>—4/?2+16n—12.-4/?2+16/?-12=-4(«-2)2+4<4.当n=2时，[一4⑺一2卩+4]„址=4.所以ai2+3ai>4,解得ai>l,a芒一4.综合①②上，©的取值范围是(—8，-4]U[2,+oo).探究2：(1)数列｛〜｝满足%+(_1)乜=2几_1,则｛〜｝的前60项和为；S4n=。”+]+(-1)%=2n-1,an+24-(-l)n+1an+x=2n4-1,•••(一1)乜+】+(-1尸a=(-1)"(2—1),即(_1)“吋+a“=(_1)
6、”⑵2—1),+°”二2m+1+(―1)"(2/1—1),d”+3+d”+
7、二2m+3+(―1)""(2〃+1)•Ian+Cln++Cln+2+%+3=4〃+4—2(—1)“,印”今+仏一2+^4n-l+Cl4n=16川_6,19.・.S仆=-(10+16/7-6>=8/?+2«探究3：若数列｛%｝满足a=a_@L陽+]+（_l）"a”=2〃_1（其中a为常数）,S“是数列｛色｝的前兀项和,数列｛仇｝满足bn=a2ti.（1）求d]的值；（2）试判断｛$｝是否为等差数列，并说明理由;（3）求S〃（用d表示）.解:（1）由题意，得a2-aA=1色+色=3
8、⑵J%1+（一1）"勺=2斤一1，+a2n=4〃_1°2”+2_°2”+]=4/?+1・・・如+如+2=甌,即仇+仇+]=跖，・•.仇_】+仇二&2—8,乞，仇为等差数列，数列｛仇｝为等差数列，乂°2”+1+°2“=如2一1%一％1=4斤一3•••乞+】一4_]=8,于是当且仅当％,.•.b]=a+l,b2=7-af仇=9+67,由勺，b2,伏为等差数列，得a=l,.•.当时，数列｛化｝为等差数列；当QH1时，数列｛化｝不为等差数列.⑶丁。“+1+（-l）"d“=2/i-1，.:an+2=2n+1,・•・(-1)%曲+(-1)2匕=(-1)"(2—1),
9、即(一1)%呵+色=(一1)“(2—1),ah+2+cin=2n+1+(—1)"(2/?—1),d“+3+Q“+]=2n+3+(—1)""(2/?+1)•••an+an++d“+2+d“+3=4,1+4一2(一1)",/.Cl^+^4/,_2+Q%"+°加=16川一6,1?.・.S仆=-(10+16/i-6>=8n2+2/?.由(2)。2”+1+-1=2,*/(i}=cif。心一3=a，。4”-1=2—a,由Cl2n~a2n-l=如2—3,dg-2一°4“-3=—7,印“-2=8〃一7+d,乂a2n+a2n+2=%，•**a4n-2+Cl4n=16〃一
10、8,勺”=8〃一1一Q,54h_,=8h2一6〃+l+a,S4—2=8/12-6
