关于数列的子列问题

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1、关于子列问题1.复习定义，性质定义2.1.4给定数列a,a,,a,及一个严格单调增加的正整数数列12nnn,,n,，称数列aa,,,a,为原数列a,a,,a,的一个子数列，12kn1n2nk12n简称为子列.a本身也是它的一个子列，a或者只去掉a中的有限项得到的子列称为nnna的平凡子列，而去掉a中的无限项的子列称为a的非平凡子列，或者真子列.nnn因为a是子列{a}的第k项，是数列{}a的第n项.同时，因为数列{}a的子nknknkn列{a}的第k项不可能是{}a中的第k项a之前的项，所以

2、nk，k1,2,，nknkk并且nn当且仅当kh.显然，如果a有上界（有下界；有界），则a也是khnnk有上界（有下界；有界）的；如果a是单调增加（减少）的，则a也是单调增nnk加（减少）的.2.有关结论（1）有界数列必有收敛子列.（2）任何一个数列a都存在单调子列.n（3）如果数列a无上界，则必存在a的一个子列a，使得nnnka(k).如果数列a无下界，则必存在a的一个子列a，使得nknnnka(k).nk（4）如果a收敛于a，则它的任何一个子列a

3、也收敛于a.事实上，因为annkn收敛于a，所以对任意给定的0，存在自然数N,使得nN时，恒有aan1成立.所以当kN时，nkN，所以aa，所以a也收敛于a.knknk由此可知，如果a有一个子列发散，或者有两个子列收敛但极限不同，则a发nn散.（5）如果limalimaa，则limaa.2n2n1nnnn证明由limaa知0，N，使当nN时，2n11n

4、aa

5、；..................................(1)2n同样由l

6、imaa知0，N，使当nN时，2n122n

7、aa

8、....................................(2)2n1取Nmax{2N,2N1}，则当kN时，如果k2n，那么由2nkN2N121知nN，从而由(1)知

9、aa

10、

11、aa

12、；如果k2n1，那么由1k2n2n1kN2N1知nN，从而由(2)知

13、aa

14、

15、aa

16、.22k2n1即当kN时，总有

17、aa

18、，所以limaa.kkk2.数列a发散的充分必要条件是a至少

19、有一个子列是发散的.nn证明如果a中存在发散子列，那么a本身是发散的，因为如果a收敛，则它nnn的任何子列也收敛，并且极限相同.反之，如果a发散，则它就是它自己的一个子n列，所以至少有一个子列发散.也可以证明它存在真子列(去掉a中无穷多项的子列)n发散.用反证法，如果它的每个真子列都收敛，那么a与a都收敛，但极限2n2n1值不同，否则a收敛，矛盾！再取a的一个子列a，将a与a按原n2n4n4n2n1an中的顺序排列得到an的一个子列ank，它不收敛，而且是a2n的

20、真子列.2（7）如果a的任何非平凡子列都收敛（注意没有假设极限相同），则a收敛.nn证明由假设知，a，a，a都收敛，因为a既是a的子列，也是2k2k13k6k2ka3k的子列，所以limalimalima，2k6k3kkkk同时a既是a的子列，也是a的子列，所以6k32k13klimalimalima，2k16k33kkkk所以limalima.2k2k1kk所以a收敛.n3