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1、正多边形和圆例1已知：如图，圆0的内接等腰三角形ABC,AB二AC,弦BD、CE分别平分ZABC、ZACB,BE=BC.求证：五边形AEBCD是正五边形.证明：在厶ABC中，TAB二AC,・ZABC=ZACB,A又TBD、CE分別平分ZABC、ZACB,E・•・ZABD=ZDBC=ZACE=ZECB,.AD=CD=AE=BE,又・.・BE=BC,・BE=BC・••点A、E、B、C、D把圆O五等分，•I五边形AEBCD是正五边形.说明：①此题利用第一个定理（判断止多边形）；②应丿IJ等腰三角形、角分线、関周角等知识.例2求证：如果一个四边形有一个外
2、接圆和一个内切圆，并门这两个圆是同心圆，那么这个四边形是正方形.已知：如图，四边形ABCD内接于人圆0,且各边与小圆相切于点E、F、G、H.求证：四边形ABCD是正方形.证明：连结OE、OF、OG、OH.・・•四边形ABCD与小圆分别切于点E、F、G、H,AOE=OF=OG=OH=,几OE丄AB、OF丄BC、OG丄CD、OH1AD.・・・AB=BC=CD=DA.・・・A、B、C、D是大圆0的四等分点.・・・四边形ABCD是止方形.说明：①此题训练学牛:把文字语言转化为数学语言；②应用第一个定理、切线的性质、垂径定理等知识；③此题可以推广到边数是n的多边
3、形.G是BF的中点，GH丄AB于H.例3如图，在正六边形ABCDEF中，求AH:AB.证明：TAB二AF,G是BF的屮点，・・・AG丄BF,XZBAF=
4、x(6-2)xl80°=120°,・・・ZABG=30°=ZAGH,设AH二x,贝ljAG=2x,AB=4x..AH:AB=x:4x=l:4说明：此题应用止多边形的定义，直角三角形的有关性质.例4周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的而积S3、S”S&间的大小关系是()(A)S3>S4>S6(B)s6>s4>s3(C)S6>S3>S4(D)54>56>S3说明：一定要注意三个正多边形的周长相等这一
5、重要条件，否则容易得出错误结论.例5已知：如图，正五边形的对角线AC和3E相交于点M,求证：(1)ME=AB；(2)ME2=BEBM.分析：若作出外接圆可以轻易解决问题.例6已知正三角形的边长为d,那么它的内切圆与外接圆组成的圆环的血积S=.分析与解答：山于正三角形内切圆和外切圆是同心圆，结合正三角形的性质(如图)B例7设计一个商标图案(如图阴影部分)，矩形ABCQ中，AB=2BC,AB=8cm,以点A为圆心，AD的长为半径作半圆，则商标图案面积等于()cm2D（A）4龙+8（B）4龙+16（C）3^+8（D）3乃+16分析与解答：仔细观察图形，阴影部
6、分而积=（丄OA的而积+矩形ABCD而积）一4△FBC的面积.解之，选（A）.说明：在求阴影部分面积时，关键在于观察图形，将图形进行分割和组合，把不规则图形转化为可计算的规则图形.例8某学习小组在探索“各内角都和等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论：甲同学：这种多边形不如圆一定是正多边形，内接矩形；已同学：我发现达数是6时，它也不一定是正多边形.如图一，ABC是正三角形，AD=BE=3f可以证明六边形ADBECF的各内角相等，但它未必是正六边形；丙同学：我能证明，边数是5时，它是正多边形.我想，边数是7时，它可能也是正多边形.（1）请你说
7、明乙同学构造的六边形各内角相等.（2）请你证明，各内角都和等的圆内接七边形ABCDEFG（如图二）是正七边形（不必写已知、求证）.（3）根据以上探索过程，提出你的猜想（不必证明）.A（图一）例9有两个正多边形边数比为2：1,内角度数比为4：3,求它们的边数.解设两个正多边形的边数为2x,x,解得兀=5,2兀=10.答它们是正五边形和正十边形.说明：木题考查正多边形的边、角关系，掌握边角关系计算公式是解题关键.作业：1.已知正五边形ABCDE,求证：对角线ADIIBC2.已知正六边形ABCDEF的对角线DF与对角线AE.CE分别交于G、H,求证：FG=G
8、H=HD3.求证：一个六边形有一个外接圆和―•个内切圆，并且这两个圆是同心圆，那么这个六边形是正六边形.4.甲、乙两个正多边形中，甲的边数是乙的边数的2倍，甲的一个内角与乙的一个内角的比是9：8,求甲、乙两个正多边形的边数.5.如图，正六边形ABCDEF的对角线BF,与对角线AC,AE交于G,H.求证：BG=GH=HF.C
