两个结论的推广与拓广——对一道高考试题的再探究

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1、2009年第3期中学数学研究两个结论的推广与拓广——对一道高考试题的再探究福建省仙游第一中学(351200)郑锋锋《数学通报)2oo8年第5期的文[1]由一道高考解析几何试题引发探究性学习,得到了关为Y-Yl=Xl(—z1)、Y—Y2=警(z—X2),即p(y+Y1)=1z、P(Y+Y2)=X2x(注意到于抛物线z=2py的结论1、2,关于曲线Axi=2Pyl,zi=2Pyz).+By:1(AB≠0)的结论3、4、5等五个结论,又设两切线的交点C(x0,Y0),则有P(Yo其中结论1是结论2的特例,结论3、4是结论+Y1)=lz0,p(yo+Y2)=z20.这表明

2、A、B5的特例.本文对结论2及结论5作进一步探两点均在直线p(yo+Y)=X0X上,故直线AB究,先把文[1]的这两个结论抄录如下:的方程为P(Y0+Y)=X0x.①结论2过抛物线=2py的对称轴上一若直线AB过定点G(C,d),则有P(Y0+定点G(0,b)的直线AB交抛物线于A、B两d):zoC.这表明点C(xo,yo)在定直线p(y+点,分别以A与B为切点的两条切线交于点)=cz上.C,则点C在定直线=一b上.特别地,当C=0时,此定直线为P(Y+d)结论5已知曲线Ax+Bv=1(AB≠=0,即Y=一d,这就是文[1]的结论2.由此可0),得结论2的推广..

3、(1)过z轴上的定点G(C,0)(c≠O)的动结论2设抛物线z=2py与过定点G直线与曲线分别交于点M、N,以点M、N为(c,d)的动直线AB交于A、B两点,分别以A切点分别作切线,它们交于点C,则点c在定与B为切点的两条切线交于点C,则点C在定直线z=_上;直线p(y+d)=CX上.下面再探究曲线Az+B=1(AB≠0)(2)过轴上的定点G(0,C)(c~-0)的动的情形.设两切点为M(x1,Y1)、N(x2,Y2),由直线与曲线分别交于点M、N,以点M、N为文[1]结论3的推导知两切线的方程分别为Y切点分别作切线,它们交于点C,则点C在定1一+直线Y=上.击一

4、+,即t上述结论揭示了圆锥曲线以过对称轴上定+昱y1=1、Axzx+B21.又设两切线的交点C(z0,Yo),则有点的动弦两端点为切点的两条切线的交点在定Az1zo+By1Yo=l、Ax2xo+B2Yo=1.这表明直线上.本文对此作进一步探究.M、N两点均在直线Ax0+o=1上.故直再探究1如果把上述结论中曲线对称轴线MN的方程为Axoz+o=1(上的定点G(0,b)、G(f,0)、G(0,C)统一换为若直线MN过定点C(c,d),则有Ax0c+定点C(C,d),那么相应的定直线是什么?od1.这表明点C(xo,o)在定直线Acx+先探究抛物线的情形.由=2py,

5、得YBdy=1上.=.设两切点为A(zl,Y1)、B(x2,Y2),则两特别地,当C≠0,d=0时,定直线为Acx切线的斜率分别为_X=_l、X2,两切线的方程分别=1,即z=;当c=0,d≠0时,定ig_线为pP·20·中学数学研究2009年第3期结论设曲线Az+=1(AB≠0)Bdy=1,即Y=.这就是文[1]的结论5.与动直线MN交于M、N两点,分别以M、N由此可得出结论5的推广为切点的两条切线交于点c,若点C在定直线结论5设曲线Az+By=1(AB≠0)Acx+Bdy=1上,则动直线MN过定点与过定点G(C,d)的动直线MN交于M、N两G(Cd).点,分别

6、以M、N为切点的两条切线交于点C,特别地,当c≠0,d=0和c=0,d≠0时,则点C在定直线Acz+Bdy=1上.结论5为结论5的逆命题.再探究2结论2、5的逆命题成立吗?分别综合结论2与结论,结论5与结论即若以动直线AB与抛物线z=2py的两交点,可得结论2、结论5的推广:为切点的两条切线的交点C在定直线P(Y+定理1设抛物线z=2py与动直线AB)=CX上,那么动直线AB是否过定点G(C,交于A、B两点,分别以A与B为切点的两条d)?若以动直线MN与曲线Ax+By=1切线交于点C,则点C在定直线p(y+d)=(AB≠0)的两交点为切点的两条切线的交点C上的充要

7、条件是动直线AB过定点G(C,d).在定直线Acx+Bdy=1上,那么动直线lvIN定理2设曲线Ax十By=1(AB≠0)与是否过定点G(C,d)?动直线MN交于M、N两点,分别以M、N为对抛物线z=2py,若两条切线的交点C切点的两条切线交于点c,则点C在定直线0,Y0)在定直线P(Y+d)=凹上,则有Acx+Bdy=1上的充要条件是动直线MN过P(yo+d):CXO,即Pyo=CXO一③定点G(f,d).又由结论2的探究过程知直线AB的方程定理1、2实质上给出了圆锥曲线的配极性为①,即P(0+Y):XOx.把③代入得CXO一质.砸+XOX.至此,我们完成了对文

8、[1]的两

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1、2009年第3期中学数学研究两个结论的推广与拓广——对一道高考试题的再探究福建省仙游第一中学(351200)郑锋锋《数学通报)2oo8年第5期的文[1]由一道高考解析几何试题引发探究性学习,得到了关为Y-Yl=Xl(—z1)、Y—Y2=警(z—X2),即p(y+Y1)=1z、P(Y+Y2)=X2x(注意到于抛物线z=2py的结论1、2,关于曲线Axi=2Pyl,zi=2Pyz).+By:1(AB≠0)的结论3、4、5等五个结论,又设两切线的交点C(x0,Y0),则有P(Yo其中结论1是结论2的特例,结论3、4是结论+Y1)=lz0,p(yo+Y2)=z20.这表明

2、A、B5的特例.本文对结论2及结论5作进一步探两点均在直线p(yo+Y)=X0X上,故直线AB究,先把文[1]的这两个结论抄录如下:的方程为P(Y0+Y)=X0x.①结论2过抛物线=2py的对称轴上一若直线AB过定点G(C,d),则有P(Y0+定点G(0,b)的直线AB交抛物线于A、B两d):zoC.这表明点C(xo,yo)在定直线p(y+点,分别以A与B为切点的两条切线交于点)=cz上.C,则点C在定直线=一b上.特别地,当C=0时,此定直线为P(Y+d)结论5已知曲线Ax+Bv=1(AB≠=0,即Y=一d,这就是文[1]的结论2.由此可0),得结论2的推广..

3、(1)过z轴上的定点G(C,0)(c≠O)的动结论2设抛物线z=2py与过定点G直线与曲线分别交于点M、N,以点M、N为(c,d)的动直线AB交于A、B两点,分别以A切点分别作切线,它们交于点C,则点c在定与B为切点的两条切线交于点C,则点C在定直线z=_上;直线p(y+d)=CX上.下面再探究曲线Az+B=1(AB≠0)(2)过轴上的定点G(0,C)(c~-0)的动的情形.设两切点为M(x1,Y1)、N(x2,Y2),由直线与曲线分别交于点M、N,以点M、N为文[1]结论3的推导知两切线的方程分别为Y切点分别作切线,它们交于点C,则点C在定1一+直线Y=上.击一

4、+,即t上述结论揭示了圆锥曲线以过对称轴上定+昱y1=1、Axzx+B21.又设两切线的交点C(z0,Yo),则有点的动弦两端点为切点的两条切线的交点在定Az1zo+By1Yo=l、Ax2xo+B2Yo=1.这表明直线上.本文对此作进一步探究.M、N两点均在直线Ax0+o=1上.故直再探究1如果把上述结论中曲线对称轴线MN的方程为Axoz+o=1(上的定点G(0,b)、G(f,0)、G(0,C)统一换为若直线MN过定点C(c,d),则有Ax0c+定点C(C,d),那么相应的定直线是什么?od1.这表明点C(xo,o)在定直线Acx+先探究抛物线的情形.由=2py,

5、得YBdy=1上.=.设两切点为A(zl,Y1)、B(x2,Y2),则两特别地,当C≠0,d=0时,定直线为Acx切线的斜率分别为_X=_l、X2,两切线的方程分别=1,即z=;当c=0,d≠0时,定ig_线为pP·20·中学数学研究2009年第3期结论设曲线Az+=1(AB≠0)Bdy=1,即Y=.这就是文[1]的结论5.与动直线MN交于M、N两点,分别以M、N由此可得出结论5的推广为切点的两条切线交于点c,若点C在定直线结论5设曲线Az+By=1(AB≠0)Acx+Bdy=1上,则动直线MN过定点与过定点G(C,d)的动直线MN交于M、N两G(Cd).点,分别

6、以M、N为切点的两条切线交于点C,特别地,当c≠0,d=0和c=0,d≠0时,则点C在定直线Acz+Bdy=1上.结论5为结论5的逆命题.再探究2结论2、5的逆命题成立吗?分别综合结论2与结论,结论5与结论即若以动直线AB与抛物线z=2py的两交点,可得结论2、结论5的推广:为切点的两条切线的交点C在定直线P(Y+定理1设抛物线z=2py与动直线AB)=CX上,那么动直线AB是否过定点G(C,交于A、B两点,分别以A与B为切点的两条d)?若以动直线MN与曲线Ax+By=1切线交于点C,则点C在定直线p(y+d)=(AB≠0)的两交点为切点的两条切线的交点C上的充要

7、条件是动直线AB过定点G(C,d).在定直线Acx+Bdy=1上,那么动直线lvIN定理2设曲线Ax十By=1(AB≠0)与是否过定点G(C,d)?动直线MN交于M、N两点,分别以M、N为对抛物线z=2py,若两条切线的交点C切点的两条切线交于点c,则点C在定直线0,Y0)在定直线P(Y+d)=凹上,则有Acx+Bdy=1上的充要条件是动直线MN过P(yo+d):CXO,即Pyo=CXO一③定点G(f,d).又由结论2的探究过程知直线AB的方程定理1、2实质上给出了圆锥曲线的配极性为①,即P(0+Y):XOx.把③代入得CXO一质.砸+XOX.至此,我们完成了对文

8、[1]的两

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