二次函数综合问题(高考专题,含答案)

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1、二次函数综合问题一、转化为最值问题(值域)1、设加是实数，记M={/7z

2、/7?>1},f(x)=log3(x2—4mx+4m2+m+—-—).m-1⑴证明：当mGM时，f(x)对所有实数都有意义;反之,若f(x)对所有实数x都有意义,则mGM；(2)当mWM时,求函数f(x)的最小值；(3)求证：对每个mWM,函数f(x)的最小值都不小于1.解:(1)证明:先将f(x)变形：f(x)=log3［(X—2m)2+m+—-一］,m-1当mWM时，m>l,.(x—m)2+m+—!—>0恒成立，故f(x)的定义域为Rcm-l反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则只须X

3、2—4mx+4m2+m+——>0。m-1令△<(),即16m2—4(4m2+m+—-—)<0,解得m>l,故mEM。m-1(2)解析：设u=x2—4mx+4m2+m+,Vy=log3u是增函数，.••当u最小时，f(x)最小。m-1而u=(x-2m)2+m+—!—,显然，当x=m时，u取最小值为m+—,m-1m-1此时R2m)=log3(m+—!—)为最小值。m-1(3)证明：当mWM时，m+—1)+—+1>3,当fl仅当m=2时等号成立。m-m-l:.log3(m+)>log33=lom-i2、已知a,b为常数,f(x)=ax2+bx,且门2)=0,并使方程/*

4、(兀)=兀有等根(1)求/(兀)的解析式；(2)是否存在实数m,n(mn)

5、若函数在区间［-1,1］上存在零点，求实数q的取值范围;(2)问：是否存在常数t{t>0),当xe［r,10］时，/(X)的值域为区间D,且D的长度为12-r.解：⑴・・•二次函数f(x)=/_16兀+纟+3的对称轴是x=8・•・函数/⑴在区间［-1,1］上单调递减・・・要函数/(X)在区间［-1,1］上存在零点须满足/(-I)-/(I)<0即(l+16+g+3)・(l—16+g+3)50解得-20<^<127<8(2)当閘-宀10-8时,B

6、J00t~—16/+g+3—(g

7、—61)=尸—16/+64=12—(・•・尸_15/+52=0・・・/二'5土折,经检验t='5土瑪不合题意，舍去。22><8当J8-r<10-8时，E

8、J60・・・q-57-(q-61)=4=12-/Ar=8经检验心8不合题意，舍去。当冷8时，/(兀)的值域为：［/(/),/(10)］,即［尸—16f+q+3,g—57］・・・g-57-(/2—16/+q+3)=-/2+16—60=12-(・・・尸_17/+72=0・・・/=8或/=9经检验(=8或(=9满足题意，所以存在常数t(t

9、>0),当xw［/,10］时，/(尢)的值域为区间D,且D的长度为12-/。4、已知函数/(%)=x2-2<2x+5(<7>1).(I)若/(X)的定义域和值域均是［1,a］,求实数a的值；(II)若/⑴在区间(-00,2］上是减函数，且对任意的x,,x2e［1,q+1］，总有

10、/(占)一/(兀2)

11、<4,求实数Q的取值范围.ft?：V/(x)=(x-a)2+5-a2(a>1)，/.f(x)在［1,a］上是减函数,乂定义域和值域均为［1,d］,・・・l-2a+5=aa2-2a2+5=1解得a=2.(II)v/(x)在区间(-oo,2］上是减函数,.9.a>29又x=

12、aq+1］,FL(a+l)-a

13、<4,/(x)max-/(^)min<4,即(6—2d)—(5—Q2)w4,解得—12,：.20,函数/(x)=xx-a

14、+l(xgR).(1)当a=l吋，求所有使f(x)=x成立的工的值；(2)当ag(0,3)时,求函数y=f(x)在闭区间［1,2］上的最小值;⑶试讨论函数j=/(x)的图像与直线j=a的交点个数.解：(1)兀

15、兀一1

16、+1=