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《二次函数综合问题(高考专题-含答案)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、二次函数综合问题一、转化为最值问题（值域）1、设m是实数，记M={m
2、m>1}，f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+).(1)证明：当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m∈M；(2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值；(3)求证：对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1.解：(1)证明：先将f(x)变形：f(x)=log3［(x－2m)2+m+］,当m∈M时，m>1,∴(x－m)2+m+>0恒成立，故f(x)的定义域为R。反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则只须x2－4mx+4m2+m+>0。令Δ＜0，即16m2－4(4m2
3、+m+)＜0，解得m>1，故m∈M。(2)解析：设u=x2－4mx+4m2+m+，∵y=log3u是增函数，∴当u最小时，f(x)最小。而u=(x－2m)2+m+，显然，当x=m时，u取最小值为m+，此时f(2m)=log3(m+)为最小值。(3)证明：当m∈M时，m+=(m－1)++1≥3，当且仅当m=2时等号成立。∴log3(m+)≥log33=1。2、有等根（1）求的解析式；（2）是否存在实数，使f(x)的定义域和值域分别为和。解：又f(x)在［m，n］上是增函数（或对称轴x＝1≥n）∴存在m＝-2，n＝0使f(x)的定义域和值域分别为［m，n］和［2m，2n］。3、已知二次函数
4、（1）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；7（2）问：是否存在常数，当时，的值域为区间，且的长度为.解：⑴∵二次函数的对称轴是∴函数在区间上单调递减∴要函数在区间上存在零点须满足即解得⑵当时，即时，的值域为：，即∴∴∴，经检验不合题意，舍去。当时，即时，的值域为：，即∴∴经检验不合题意，舍去当时，的值域为：，即∴∴∴或经检验或满足题意，所以存在常数，当时，的值域为区间，且的长度为。4、已知函数（）.(I)若的定义域和值域均是，求实数的值；(II)若在区间上是减函数，且对任意的，，总有，求实数的取值范围.解：∵（）,∴在上是减函数，又定义域和值域均为，∴，即，解得.(II)∵在区间
5、上是减函数，∴，又，且，∴，.∵对任意的，，总有，∴，即，解得，又，∴.5、已知,函数.(1)当时，求所有使成立的的值；(2)当时，求函数在闭区间上的最小值；(3)试讨论函数的图像与直线的交点个数.解：(1)所以或;7(2),1O.当时，，这时，对称轴，所以函数在区间上递增，；2O.当时，时函数；3O.当时，，这时，对称轴，所以函数；(3)因为所以，所以在上递增；在递增，在上递减.因为，所以当时，函数的图像与直线有2个交点；又当且仅当时，等号成立.所以，当时，函数的图像与直线有1个交点；当时，函数的图像与直线有2个交点；当时，函数的图像与直线有3个交点；当时，函数的图像与直线有2个交点
6、；当时，函数的图像与直线有3个交点.二、零点问题（根的分布）6、已知函数和．其中．（1）若函数与的图像的一个公共点恰好在x轴上，求的值；（2）若和是方程的两根，且满足，证明：当时，．解：（1）设函数图像与x轴的交点坐标为（，0），（2）由题意可知．,∴,∴当时，即．又,∴<0,∴,综上可知，．7、设函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－，3a>2c>2b，求证：(1)a>0且－3<<－；(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点；7(3)设x1、x2是函数f(x)的两个零点，则≤
7、x1－x2
8、<.证明：(1)∵f(1)＝a＋b＋c＝－，∴3a＋2b＋2c＝0.又3a>2
9、c>2b，∴3a>0,2b<0，∴a>0，b<0.又2c＝－3a－2b，由3a>2c>2b，∴3a>－3a－2b>2b.∵a>0，∴－3<<－.(2)∵f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c＝a－c，①当c>0时，∵a>0，∴f(0)＝c>0且f(1)＝－<0，∴函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点．②当c≤0时，∵a>0，∴f(1)＝－<0且f(2)＝a－c>0，∴函数f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点．综合①②得f(x)在(0,2)内至少有一个零点．(3)∵x1、x2是函数f(x)的两个零点，则x1、x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，∴x1＋x2＝－，x1x2＝
10、＝－－，∴
11、x1－x2
12、＝＝＝.∵－3<<－，∴≤
13、x1－x2
14、<.8、已知是实数,函数.如果函数在区间[-1,1]上有零点,求的取值范围.解：若,则,令,不符题意,故………2分当在[-1,1]上有一个零点时,此时或………6分解得或…………………………………………………………………8分当在[-1,1]上有两个零点时,则………………………………10分解得即………………12分综上,实数的取值范围为.……………………………………14分(别解:,题意转
