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《二次函数综合问题(高考专题,含答案)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、二次函数综合问题一、转化为最值问题(值域)1、设加是实数,记M={/7z
2、/7?>1},f(x)=log3(x2—4mx+4m2+m+—-—).m-1⑴证明:当mGM时,f(x)对所有实数都有意义;反之,若f(x)对所有实数x都有意义,则mGM;(2)当mWM时,求函数f(x)的最小值;(3)求证:对每个mWM,函数f(x)的最小值都不小于1.解:(1)证明:先将f(x)变形:f(x)=log3[(X—2m)2+m+—-一],m-1当mWM时,m>l,.(x—m)2+m+—!—>0恒成立,故f(x)的定义域为Rcm-l反之,若f(x)对所有实数x都有意义,则只须X
3、2—4mx+4m2+m+——>0。m-1令△<(),即16m2—4(4m2+m+—-—)<0,解得m>l,故mEM。m-1(2)解析:设u=x2—4mx+4m2+m+,Vy=log3u是增函数,.••当u最小时,f(x)最小。m-1而u=(x-2m)2+m+—!—,显然,当x=m时,u取最小值为m+—,m-1m-1此时R2m)=log3(m+—!—)为最小值。m-1(3)证明:当mWM时,m+—1)+—+1>3,当fl仅当m=2时等号成立。m-m-l:.log3(m+)>log33=lom-i2、已知a,b为常数,f(x)=ax2+bx,且门2)=0,并使方程/*
4、(兀)=兀有等根(1)求/(兀)的解析式;(2)是否存在实数m,n(mn)(m)=2m=2n•••存在mn=0使f(x)的定义域和值域分别为[imn]和[2m,2n]o3、已知二次函数/(x)=x2-16%+^+3(1)
5、若函数在区间[-1,1]上存在零点,求实数q的取值范围;(2)问:是否存在常数t{t>0),当xe[r,10]时,/(X)的值域为区间D,且D的长度为12-r.解:⑴・・•二次函数f(x)=/_16兀+纟+3的对称轴是x=8・•・函数/⑴在区间[-1,1]上单调递减・・・要函数/(X)在区间[-1,1]上存在零点须满足/(-I)-/(I)<0即(l+16+g+3)・(l—16+g+3)50解得-20<^<127<8(2)当閘-宀10-8时,B
6、J0<6时,/(兀)的值域为:[/(8),/(/)],即[q-6,t2-6t+q+3/>0t~—16/+g+3—(g
7、—61)=尸—16/+64=12—(・•・尸_15/+52=0・・・/二'5土折,经检验t='5土瑪不合题意,舍去。22><8当J8-r<10-8时,E
8、J6<8时,/(兀)的值域为:[/(8),/(10)],即[q—61,g—57]t>0・・・q-57-(q-61)=4=12-/Ar=8经检验心8不合题意,舍去。当冷8时,/(兀)的值域为:[/(/),/(10)],即[尸—16f+q+3,g—57]・・・g-57-(/2—16/+q+3)=-/2+16—60=12-(・・・尸_17/+72=0・・・/=8或/=9经检验(=8或(=9满足题意,所以存在常数t(t
9、>0),当xw[/,10]时,/(尢)的值域为区间D,且D的长度为12-/。4、已知函数/(%)=x2-2<2x+5(<7>1).(I)若/(X)的定义域和值域均是[1,a],求实数a的值;(II)若/⑴在区间(-00,2]上是减函数,且对任意的x,,x2e[1,q+1],总有
10、/(占)一/(兀2)
11、<4,求实数Q的取值范围.ft?:V/(x)=(x-a)2+5-a2(a>1),/.f(x)在[1,a]上是减函数,乂定义域和值域均为[1,d],・・・l-2a+5=aa2-2a2+5=1解得a=2.(II)v/(x)在区间(-oo,2]上是减函数,.9.a>29又x=
12、aq+1],FL(a+l)-a13、<4,/(x)max-/(^)min<4,即(6—2d)—(5—Q2)w4,解得—12,:.20,函数/(x)=xx-a
14、+l(xgR).(1)当a=l吋,求所有使f(x)=x成立的工的值;(2)当ag(0,3)时,求函数y=f(x)在闭区间[1,2]上的最小值;⑶试讨论函数j=/(x)的图像与直线j=a的交点个数.解:(1)兀
15、兀一1
16、+1=