2018年山东省数学高中人教A版学案选修2-2：导数的综合应用

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1、导数的综合应用学习内容学习指导即时感悟【学习目标】通过学习进一步理解导数的意义，会进行导数的计算，掌握导数的应用：求切线方程，判断函数的单调性，求函数的极值与最值。【学习重点】导数的应用【学习难点】导数的应用学习方向一、回顾复习：1.导数的定义和几何意义(1)定义:函数f(x)在X“处的导数：(2)函数v二f(x)在点x“处的导数的几何意义：2•导数的运算(1)基本初等函数的导数公式：C=(XHY=(sinxY=(cosxY=(axy=(，y=(logax)'=(Inx)'=⑵导数的四则运算法则:设/(x)

2、,g(x)是可导的，则[/(x)+g(x)]'=；lf(x)g(x)Y=[cf(x)X=；㈣〜gO)3.导数的应用(1)求切线方程：①在某点处的切线方程：②过某点的切线方程：注：①切点既在直线上又在曲线上；②过曲线上一点的切线，该点未必是切点。(2)函数单调性与导数的关系：在某个区间(a,b)内，(3)函数的极值与最值：①如何求函数的极值：②如何求函数在内的最值：(4)不等式恒成立问题：化为函数求最值。从近儿年的高考命题分析，高考对到导数的考查可分为三个层次：第一层次是主要考查导数的概念和某些实际背景，求导

3、公式和求导法则。第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起，设计综合试题。回顾检测自我完成课题引入二、课前检测：1.函数fx)=(x-3)ex的单调递增区间是(D)A.(—8,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+<>o)2.若曲线y=x2+ax+h在点(0,Z?)处的切线方程是x-y+l=0,贝恂=_b=13.函数fM=2

4、x2--x3在区间［0,6］上的最大值是(A)A.—B.—C.12D.9334.要使函数/(x)=%2+3@+1)兀-2在区间(-汽3］上是减函数，求实数°的取值范围。解：aW-3三、自主合作探究题型一：利用导数几何意义求切线方程：分析题目总结方法例1・曲线尸4—戏在点(-1,-3)处的切线方程是解：x-y-2二0变式：曲线"力」过点(-1，-3)处的切线方程是解：x-y-2二0或13x-4y+l二0题型二：利用导数研究函数的单调性，极值、最值：例2.己知函数/(%)=x3+or2++c,在曲线y=/(x)

5、_E的点(1,/(1))的切线方程为y二3x+l(1)若函数/(")在兀=一2处有极值，求于(兀)的表达式;(2)在(1)的条件下，求函数)=/(兀)在上的最大值；(3)若函数〉=/匕)在区间上单调递增，求实数b的取值范围.解：(1)f(x)=x3+2x2-4x+5(2)最大值为f(-2)=13⑶b20题型三：利用导数研究函数的图像例3・如右图：是f(x)的导函数，广(兀)的图象如右图所示，则f(x)的图象只可能是(D)ABCD变式练习：1.函数.f(兀)的定义域为开区间(恥)，导函数.厂(X)在(G,b)

6、内的图象如图所示，则函数/(兀)在开区间(o,b)内有极小值点(A)A.1个B.2个C.3个D.4个3•上题中若换成是函数f(x)的图像，则(a,b)内极大值点有2个。题型四：不等式的证明问题：例4.sinx0所以f(x)在(0,7C)上为增函数所以f(x)>f(0)二0,即x-sinx>0,所以sinx

7、,0)42.若曲线的一条切线/与直线x+4y-8=0垂直，贝“的方程为4x_y_3二0A.(0,+8)B.[0,+oo)C.(

8、,+oo)D・G，+oo)5.已知函数f(x)=-xw的取值范围是(D)+arA.(-1,1]B.(0,1]C.[1,+8)D.(0,+8)4•如果函数ZU)=d—#+5在(一co,+co)上单调递增，则实数4-ax+lo3(1)若在R上单调，求d的取值范围。(2)问是否存在g值，使得.f(兀)在[-1,1]±单调递减，若存在，请求Q的取值范围。解：(1)0<^<1；(2)不存在6

9、.证明不等式ex>1+x,xHO解：令f(x)=ex-x-l,则广(兀)=『-1,可得f(x)>f(0)=0五、总结提升：六、拓展延伸：函数/(兀)=x3-3ax-1(4工0),若f(x)在x=—1处取得极值，直线y-m与尸f(x)的图象有三个不同交点，求m的取值范围。解：-35X1课下检验3.函数y=lx*2-lnx的单调递减区间为(B)