2018年山东省数学高中人教A版学案选修2-2：变化率问题与导数的概念

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1、变化率问题与导数的概念学习内容学习指导即时感悟【学习目标】1•理解平均变化率与导数的概念；了解平均变化率的几何意义、瞬时速度、瞬时变化率的概念；会求函数在某点处附近的平均变化率及导数。2.用探究的方法由平均变化率探求瞬时变化率，推出导数的概念，理解导数的内涵。3.培养学生科学严谨的探索精神。【学习重点】平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；导数的概念。【学习难点】平均变化率的概念、导数的概念。【预习新知】1、对于函数y=/（兀），当自变量兀从兀］变到勺吋，函数值从f（旺）变到f&）‘则称式子'（”2）—/（坷）为y=兀）从西到兀2的平均变化率，简记作:3。x2-Xj

2、-Ax2、函数y=/（x）的平均变化率的儿何意义是指函数y=/（%）图象上两点好（兀1，/（兀1））、鬥（兀2，/（兀2））连线的斜率3、函数y=/（%）在兀=兀处的瞬时变化率是函数f（x）从x0到兀+Ax的平均变化率在AxT0时的极限，即lim兀％+心）—‘区）=lim小。△ttoAx心to心4、函数y=“兀）在x=xn处的瞬时变化率称为函数y=“兀）在x=xn处的导数，记作厂孔），即厂（切=lin/）】lim/（"+37g）0.v07心to心心toAx5、总结求导数的步骤：一差二比二极限【自主•合作.探究】一、引入导数是微积分的核心概念之一，它是研究函数增减、变化快慢、最

3、大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.二、问题提出问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢.从数学角度，如何描述这种现彖呢？（1）当V从0增加到1吋,气球半径增加了r（V）一r（O）«0.62（Jm）气球的平均膨胀率为厂⑴一"°）=0.62（〃加/厶）1-0（2）当V从1增加到2时,气球半径增加了r（2）一r（l）=0.16（〃加）气球的平均膨胀率为厂⑵一厂⑴-0.16（/L）21思考：当空气容量从X增加到仏时,气球的平均膨胀率是多少？

4、问题2高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度（单位：的与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系A（r）=-4.9f2+6.5^+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态？思考计算：在05f50.5这段时I'可里，v=//（°，5）~r（0）=4.05（加“）0.5-0在1GW2这段时间里，「二〃（2）_厂（1）2（加/s）21三、平均变化率概念：1.上述问题中的变化率可用式子/°2）一/（坷）表示,称为函数代力从卫到疋x2-x,的平均变化率2.若设Ar=x2-xp纣=/（勺）一/（刃）（这里山看作是对于必的一个“增量”可用时心代替血同样纣=A

5、y=/（花）-/（xj）则平均变化率为冬=^=/°2）73）=/也+心）7（“）ArArx2Ar探究1:观察函数fd）的图彖平均变化率0<^<—这段时间里的平均速度，并思考以下问题：49⑴运动员在这段时间内使静止的吗？否⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?不能刻画在某一时刻的速度1.瞬时速度定义：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。思考（课本P5观察）：当趋近于0吋，平均速度u有什么样的变化趋势?2.导数的概念函数y=f（x）在尸必处的瞬时变化率是：lim0=lim，（兀（）+心）一/（%（））ayto心&T（）Ay我们称它为函数y=/（x）在兀二如出的导数，记

6、作f（兀°）或y

7、g,即心toAx山t（）Ax三.典例分析例1.已知函数f（x）=-x2+x的图彖上的两点4（一1,一2）B（-1+Ax,-2+△），）,则一—=-Ax+3.■Ax例2.求函数f（x）=—/+x在兀=_1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.解:广（―1）=lim（—心+3）=3例3.（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第M时，原油的温度（单位：°C）为/W=x2-7x+15（0

8、差二比三极限【当堂达标】1.设函数y=f{x）,当自变量兀由X。改变到兀（）+心时，函数的改变量△>'（D）A./（x0+Ax）B./（x0）+AxC./（x0）-AyD./（x0+Ax）-/（x0）2.一直线运动的物体，从时间/到/+M时，物体的位移为山，那么lim竺为(B)soArA.从时间r到/+△/时，物体的平均速度；B.在f吋刻吋该物体的瞬吋速度；C.当时间为&时物体的速度；D.从时间f到/+△/时物体的平均速度1.质点运动规律为5=r2+3,质点在r=3的瞬时速度为6・【反思.提升】【作业】