利用函数的性态讨论方程根的个数

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1、利用函数的性态讨论方程根的个数业!Q:!ScienceendTechnologylnnovationHerald利用函数的性态讨论方程根的个数梁义魏可嘉Z（1华北电力大学科技学院河北保定0710512河北大学数计学院河北保定071002）摘要:利用函数的性态讨论方程根的存在性，及对根的个数进行研究和归纳.关键词:方程根中图分类号：01文献标识码:A文章编号:1674—098X（2009）05（b）—0170—01在数学有关方程根的研究中，根据连续性函数的介值定理【（零点定理・・・o）和微分中值定理

2、…”可讨论方程实根存在性的问题•这里通过分析具体函数的性态，利用下述命题，讨论该函数的零点个数问题，即相应方程实根的个数问题.利用函数性态讨论方程根的个数问题，常用到下述几个命题：命题1若连续函数的单调区间为开区间或无穷区间，且在该区间的左端点的右极限与右端点的左极限异号（包括极限为一则在该区间内）有且仅有个零点，或方程）=0有且仅有一个实根•若不异号，则没有实根.例1证明方程+—1:0只有一个正根证明:先证)=+-1：0至少有个正根•由正根可知，根所在区间应为【o,b】.如何确定b,因40)二l

3、<O,故所求的b应有>0.因为liraf(x)=Iim(+一1)=+°°,故在(0,+oo)上总存在一点6,使b)>0,因而在区间的端点处函数值异号•乂因厂(x)=5+l>0,xw(0,b),故在(0,6)单调增加,由命题1知,)=0在［0,b】上只有一个正根，即在(0,+oo)内只有一个正根.例2求证方程+P+qCOSX=0恰有一个实根，其中p,q为常数，且0<q<I.证:令,(X)二+p+qxosx,则在，且厂()=1一sin>0,B卩彳匕)在(一oo

4、,+oo)内单调增加•由命题1知，所给方程有口仅有一个实根.注意:证实系数方程根的唯一性常转化为证明函数的单调性.命题2连续函数4x)的单调区间为闭区间［a,b］，若在两端点处函数值异号，则函数在该区间内有且仅有一个零点;若有一端点为函数零点,4该区间内没有且另一端点也不是该函数的零点;若在两端点处函数值同号，则函数在该区间上无零点例3设f(x)在血,+—)内二阶可导,口(1)f(a)>0,(2)厂(a)<0,(3)x>a时,f(a)<0;试证在(a,+oo)内方程f(x)

5、=O有且仅有一个实根.证:因x>a时,f(<0,故x>aN,f(单调减少，因而/f)<；/(口)<0•于是当x^a时,)单调减少，今又己知f(a)>0,如能找Nb使f(b)<0,由命题2Hp知，在(a,b)内方程f(x)=0仅有一个实根.又x2b时,f(x)<b)<0,因而在(a,+)内方程f(x):0仅有个实根.如何找到6,使g(n)<O呢?可用拉格朗口定理…”找Z.ltl该定理知，对任何x>a,存在三W(a,)使f(x)-f(0)

6、=.厂(亏)(—a)<f(aXx一口)Elpf(x)<P()+厂()(-a)因f(日)<0,故当x充分大时，可使■厂'(aXx〜a)&It;—,(口),因而有)<o.于是存在6>a,使<0.注意:为利用命题2证明方程仅有一个实根，若已知一函数值a)>0(或<0),单调，常用拉格朗口屮值定理…127找另一点b,使)<0(或>0)・命题3设g(c)在［a,b］上连续(a,b可为有限数,也可为无穷)，且tim一/()>o,tim■一〜a+

7、0一./()>0(或X—*0—U.()<O),又,一II+IJ—}6—U(在[a,b]上的最小值为脚(或最大值为，且仅cG(a,6)在处达到，柚在(a,c)内单调减少(或增加)，在(c,6)内单调增加(或减少)，则：(1)当>O(或<O)时，在，上与胤没有交点，故)没有零点，即=0没有实根，⑵当m=O时(或M=O)时，在【a,上柚与x轴只有一个交点，故f(x)只有一个零点,即=0只有一个实根；(3)当脚<0(或>0)时，在，削上与x轴有且只有两个交点，故)有且仅

8、有两个零点，即:0有且只有两个实根159.例4讨论函数二Inx〜(a>0)的零占个数。解：)的定义域为(0,+・.),而lim厂()=lira(Inx一ax)=一oo—}+[]x・+如]jlll/()=Jim(In—ax)=lira(Inx一InPl=VIDrrhrnh1(一二一)二inlim(—二一)_+e”+8p”因a>O,故壁(i):0,因而1_,()：一OO.1由厂()=二一a:0得到f(x)唯一驻点1『】一.口1因>O,当0&二吋,f(x)>01当