知识点35 函数的零点(方程的根)个数的讨论

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1、学科：高等数学第三章微分中值定理知识点35函数的零点（方程的根）个数的讨论相关概念、公式定理或结论●定义**●定理**●结论**考频:3知识点35配套习题4例35.1(难度系数0.2)证明方程4arctanxx30恰有两个实根.34解析：只需证明函数f(x)4arctanxx3恰有两个零点即可.领用零点3定理证明零点的存在性,利用单调性判断零点的个数2443x证明：令f(x)4arctanxx3，则f(x)1，2231x1x令f(x)0，得x3，f(x)在(,3],[3,3],[3,)上单调.且8limf(x)，f(3)

2、0，f(3)230，limf(x).由零点定理可知x3x4，f(x)在(,3],[3,)上各有一个零点.即方程4arctanxx30恰有3两个实根.例35.2(难度系数0.4)x求证：lnx1cos2xdx在(0,)内只有两个不同的实根.e0解析：同例35.1x11证明：令f(x)lnx1cos2xdx，则f'(x),故当0xe时e0xe,f(x)0,xe时,f(x)0,，又limf(x),limf(x)，则存在x(0,e),使得f(x)0,11x0x且存在x(e,),使得

3、f(x)0,且f(e)0，则由零点定理可知，f(x)在22(x,e),(e,x)内至少各有一个零点.12又f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,)上单调减少，所以f(x)在(0,e),(e,)上x分别只有一个零点，即方程lnx1cos2xdx在(0,)内只有两个不同的实e0根.例35.3(难度系数0.6)确定方程lnxax(a0)实根的个数.解析：要确定方程的实根个数，即判定函数f(x)lnxax的零点个数，利用单调性进行讨论即可.注意结合图像进行讨论.解：令f(x)lnxax，讨论f(x)在(0,)有几个零点.考察单调性，由于10,0xa

4、11f(x)a0,x，xa10,xa1111则f(x)在x处取得最大值f()ln1，又因为f(x)0,因此f(x)的图2aaax像可分为下列图35.1中的三种情形.11aa1a图35.1因此方程f(x)0的实根个数有下列三种情形：111（1）f()ln10，即a，恒有f(x)0，无实根.aae111（2）f()ln10，即a，由于x(0,)，当xe时，f(x)0，故只有aae1一个实根，即xe.a111（3）f()ln10，即0a，因为limf(x),limf(x)，故方程aaex

5、0x11在(0,),(,)各只有一个实根，因此方程在(0,)恰有两个实根.aa例35.4(难度系数0.4)就k的不同取值情况，确定方程xsinxk在开区间2(0,)内根的个数，并证明之.2解析：构造辅助函数f(x)xsinx，利用驻点、极值和最值的求解，判定出2函数f(x)的取值范围为[y,0)，然后再讨论k与[y,0)的关系即可.00解：设f(x)xsinx，则f(x)在[0,]上连续.222由f(x)1cosx0,得f(x)在(0,)内的唯一驻点xarccos.由于当022x(0,x)时，f(x)0,当x(x,)时，f(x)

6、0.所以f(x)在[0,x]上单调减少，在0002[x,]上单调增加，因此x是f(x)在(0,)内的唯一的最小值点，最小值为0022yf(x)xsinx00002又因为f(0)f()0，故在(0,)内，f(x)的取值范围为[y,0).当022k(y,0),即0ky或k0时，原方程在(0,)内没有实根；02当ky时，原方程在(0,)内有唯一实根x；002当k(y,0)时，原方程在(0,x)与(x,)内各恰有一实根，即原方程在(0,)00022内恰有两个不同的实根.4例35.5(难度系数0.4)讨论曲线y4lnxk与y4xlnx的交点个数.4解析：本

7、题为函数交点个数问题，只要讨论方程4lnxk4xlnx的实根个4数即可，可通过讨论函数f(x)4lnxk4xlnx的零点个数来求解.4解：令f(x)4lnxk4xlnx，则43143f(x)44lnx(1xlnx).xxx321令g(x)1xlnx，g(x)13lnx，当x0时，g(x)0，g(x)单调减少x，g(x)只有唯一零点x1，