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1、3.2利用导数研究函数的性态3.2.1函数的单调性单调增加：fx)>0(仅可能在个别点为零)单调减少：<0(仅可能在个别点为零).定理1(单调性判定法)函数/(%)在闭区间上连续，在幵区间(6z，Z?)lA)可导(1)若/U)〉0,则函数/(%)［仏/?］上单调增加.(2)若/(X)<0,则函数/(X)［6Z，/7］上单调减少.证(1)对任意xpx2e［fl，/?］，且七<易，由拉格朗曰中值定理，有/(x2)-/(々)=,’O>2—A)(xi<《<义2).若/'(%)〉0，则必有/Z(0〉O，
2、又易一戋〉0,故有/(x2)〉/(%,),即函数/(X)［6Z，纠上单调增加.同理可证(2).例1判断函数>，=x-sina:在区间［0,2^-J上的单调性.解因为在(0,2兀)内/=l-cosx〉0,由定理可知，函数y=%-sinx在区间［0,2;r］上的单调增加.函数具有单调性的区间为函数的单调区间.单调区间的分界点处的导数值应该为零，但导数值为零的点，不一定是单调区间的分界点.使fx)=0的点，叫做函数y=f(x)的驻点.例2求函数/(x)=ex-x+l的单调区间.解fx)=ex-,
3、令/(x)=0,得驻点x=0•当x〉0时，fx)>0,所以/(x)=f-x+1在10，+oo)上单调增加.当a:<0时，fx)<0，所以/(%)=^-%+1在(一oo,0］上单调减少.2例3求函数/(X)二X5的单调E间.2—解函数的定义域为(_oo，+oo),fx)=-x3,此函数无驻点，但当X=0时，函数的导数不存在.当又〉0时，f(x)>0,所以/(义)=又3在［0,+00)上单调增加,当x<0时，fx)<0,所以/u)二;V3在［0，+oo)上单调减少,求函数y=/(X)单调区间
4、的步骤如卜：第一步，确定函数y=/(x)的定义域;笫二步，求/"(X)，并求出函数/U)在定义域内的驻点以及不可导点;第三步，用驻点和不可导点将定义域分成若干小区间，列表分析;第四步，写出函数7=/(幻的单调区间.例4求函数/(x)=2x3-9x2+12x—3的单调区间.解(1)函数的定义域为.(2)/’(x)=6x2-18x+12=6(义一2)(又一1),令/’(％)=0，得驻点々=1，x2=2.(3)弋=1，x2=2把定义域分成三部分，X(-00,1)1(1,2)2(2,+oo)+0—0+/
5、W/21Z例5求证x〉In(l+x)(x>0)证设f(x)=x-ln(l+x)，贝ij1+x当x〉0时，fx)>0,由定理1知/U)为单调增加，又所以在［0,+oo)上单调增加，又/(0)=0,故当又〉0时，/(%)〉/(0),即x-ln(l+x)>0.从而x〉ln(l+X).例6(人口增长问题)中国的人口总数尸(以10亿为单位)在1993-1995年间可近似用方程P=15x(1.014/来计算，其•屮Z是以1993年为起点的年数，根据这一方程，说明屮国人口总数在这段时间是增长还是减少？dP解
6、—=1.15x(1.014/xlnl.014>0.dt因此，中国人口总数在1993-1995年期间是增长的.3.2.2曲线的凹凸性与拐点定义1在开区间(6Z，/?)內，如果曲线上每一点处的切线都在它的下方，则称曲线在(6/，的内是凹的.如果曲线上毎一点处的切线都在它的上方，则称曲线在(6Z，/?)闪是凸的.定理2(曲线凸凹性的判定定理)设函数y=/(x)在闭区间［6Z，/?］上连续，且在开区间内具有二阶导数，如果对任意的xe(6Z，/?)，有(1)fx)>0,则曲线/(X)在闭区间［6Z，列上
7、是凹的(2)fx)<0,则曲线/(X)在闭区间上是凸的曲线凹凸区间的分界点叫做曲线的拐点.求曲线的凹凸区间及拐点的步骤：(1)确定函数/(X)的定义域；(2)求/(X)，fx),解出r(x)=0的点和/"(x)不存在的点;(3)这些点将定义域分成若干小区间，列表判定在这些小区间A/"(X)的符号；(4)写出函数y=/(x)的凹凸区间及拐点.例7确定曲线>，=x3-6x2+9x-3的凸凹性和拐点.解fx)=3x2-12x+9,fx)=6x-12=6(x-2),由门>)=0,得x=2.X（-
8、°°，2）2（2，+oo）■0+y=/Wn拐点(2,一1)uI例8确定曲线y=l+(x-l)3的凹凸性和拐点.I-±21解fx)=-(x-D=r,当又=1时，，(x)不存在.39(x-ir3.2.3函数的极值与最值X(_oo，l)1(1列rw+不存在+y=,Wu拐点(2，—1)n1.函数的极值定义2设函数/(%)在点义的某邻域f；(%)内有定义，如果对去心邻域t/(x())内的任—X,有/(X)f(x0))，那么就称/(xo)是函数/O)的一个极大值(或极小值).函数
