学士学位论文利用导数研究函数的性态

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1、唐山师范学院学士学位论文题目利用导数研究函数的性态学生庄文杰指导教师刘丽梅教授年级2009级专业数学与应用数学系别数学与信息科学系唐山师范学院数学与信息科学系2011年5月郑重声明本人的毕业论文（设计）是在指导教师刘丽梅的指导下独立撰写完成的。如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督。特此郑重声明。毕业论文（设计）作者（签名）：年月日目录标题1中文摘要11.函数的单调性11.1单调性判别法11.2单调区间的划分21.3典型例题分析22.函数的极值32.1极值的概念32.2极值存

2、在的条件42.3典型例题解析43.函数的最大值、最小值问题53.1闭区间上连续函数的最大值、最小值求法63.2应用问题的最值的求法64.函数的凸凹性74.1概念74.2定理84.3解题步骤84.4经典题型95.曲线的渐近线95.1水平渐近线95.2垂直渐近线95.3斜渐近线96.描绘函数图像106.1简单介绍及描绘图像步骤106.2典型例题分析11参考文献12致谢13外文页14利用导数研究函数的性态庄文杰摘要导数的广泛应用为我们解决函数问题提供了有力的工具.下面通过六部分内容:可导函数单调性判别法、函数的极值、函数的最大（小）值、函数的凹凸性、渐近线、讨论函数图像.对

3、运用导数研究函数性态进行了讨论,其中研究的性质有函数的单调性、极值、最值及函数的凹凸性与拐点,并由这些性质和中学所学的函数的定义域、周期性和奇偶性等等来讨论函数的图像.关键词导数函数单调性凹凸性拐点渐近线导数是数学的重要基础,是联系初、高等数学的纽带.它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野,是研究函数性质、探求函数的极值最值、求曲线的斜率和解决一些问题的有力工具.应借助于导数在函数中的应用,深刻领会在利用导数探究函数的单调性、极值(与最值)这一过程中的原理.运用导数来研究函数的性态,它包括如下内容：单调性、极值、最值及函数的凹凸性与拐点、渐近线、函数的图像.下面我们

4、通过六部分内容来详细说明一下.⒈函数的单调性中学《数学》用代数的方法讨论了一些函数的性态如单调性、极值性、奇偶性、周期性等.由于受方法的限制讨论得既不深刻也不全面,且计算繁琐,也不易掌握其规律.而导数为我们深刻、全面地研究函数的性态提供有力的数学工具.回顾以前知识可以知道,导数的几何意义也就是切线的斜率,导数的实际意义就是变化率(如同上坡的变化率是坡度等),而物理意义如同位移之如速度、速度之如加速度等等.1.1单调性判别法定理1若函数在内可导,则⑴在内单调递增,;⑵在递减,.定理2若函数在内可导,则内单调.⑴在内严格递增①,有;②在内的任何子区间上不恒等于.14⑵在内

5、严格递减①,有;②在内的任何子区间上不恒等于.推论设函数在内可导.若(),则在内严格递增(严格递减).但仍需注意,本推论只是严格单调的充分条件.例如在上是严格单调的,但并不是在上恒大于的,因为,即允许个别离散的点使得.满足方程的点为函数的稳定点(又称驻点).1.2单调区间的划分⑴函数单调区间的分界点可能是:驻点或不可导点.⑵求单调区间的步骤:①求出函数的定义域;②求出可能的分界点:驻点或不可导点;③用上述各点将定义域分成若干个小区间;④判断每个小区间上的符号,从而得出结论.1.3典型例题分析例1求的单调区间.分析：先求函数的定义域，再利用一阶导数为零的点和导数不存在的

6、点将定义域划分为几个部分区间，然后分别确定函数在这些区间上的单调性。解的定义域为,令，则即,,列表如下：+0——0+函数的单调增区间为、；14函数的单调减区间为、.例2证明：当时，不等式成立.分析：可变形,故只需证明在内是单调增的.证令当时，,在内是单调增的.当时，,即.通过上题我们可以知道利用函数的单调性证明不等式的方法是:先构造一个辅助函数,等于不等号两端的式子的差(一般用大的减去小的),然后再利用导数判断该函数的单调性,让与比较大小,从而来证明不等式.这也是证明不等式的一种方法,我们以后可以用这种方法证明一些不等式.2.函数的极值函数的极值不仅在实际生活中占有重

7、要的地位,而且也是函数性态的一个重要特征.2.1极值的概念.定义设函数在区间有定义,若且存在的某邻域,有,则称是函数的极大值点（极小值点）,是函数的极大值（极小值）,极大值点与极小值点统称为极值点,极大值与极小值统称为极值.注极值点必在区间的内部（即不能是区间I的端点）是函数的极值是与函数在的某个邻域上的函数值比较而言的,因此极值是一个局部的概念.函数在区间上可能有很多的极大值（或极小值）,但只能是一个最大值（如果存在最大值）和一个最小值（如果存在最小值）若函数在区间的内部某点取最大值（最小值）,则必是函数的极大点（极小点）.2.2极值存在的条件14