导数在研究函数几何性态中的应用

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1、导数与函数几何性态的关系3.4函数的单调性曲线的凹凸与拐点3.5函数的极值函数的最值3.6曲线作图3.7曲率3.4函数的单调性注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,导数与函数几何性态的关系3.4函数的单调性曲线的凹凸与拐点3.5函数的极值函数的最值3.6曲线作图3.7曲率曲线的凹凸与拐点导数与函数几何性态的关系3.4函数的单调性曲线的凹凸与拐点3.5函数的极值函数的最值3.6曲线作图3.7曲率曲线的凹凸与拐点曲线拐点的求法例解注意:导数与函数几何性态的关系3.4函数的单调性曲线的凹凸与拐点3.5函数的极值函数的最值3

2、.6曲线作图3.7曲率3.6曲线作图函数的作图需要研究函数的几何性态,是导数应用的综合考察.极大值极小值拐点凹的凸的单增单减极小值单减单增拐点拐点拐点例1解注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．3.4.1函数的单调性的判断例2解3.4.2单调区间求法如右图，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调．定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．方法:解单调区间为3.

3、4.3利用函数的单调性证明不等式？3.4.4利用函数的单调性证明方程仅有一根曲线的拐点及其求法1、定义2、拐点的求法例2解凹的凸的凹的拐点拐点注：拐点是曲线上的点,从而拐点的坐标需用横坐标与纵坐标同时表示,不能仅用横坐标表示.这与驻点及极值点的表示方法不一样.例2方法2:例3解例5判断曲线的凹性,并求其拐点.x0(0,)+不存在–0+y拐点(0,0)拐点思考题思考题解答例曲线凹凸的定义问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方利用函数的凹凸性证明不等式P.200第2题例6例6证利用函数

4、的凹凸性证明不等式导数与函数几何性态的关系3.4函数的单调性曲线的凹凸与拐点3.5函数的极值函数的最值3.6曲线作图3.7曲率3.5函数的极值极大值:f(x2),f(x5);极大值点:x2和x5极小值:f(x1),f(x4),f(x6);极小值点:x1,x4和x6导数与函数几何性态的关系3.4函数的单调性3.5函数的极值函数的最值3.6曲线作图3.7曲率3.5函数的极值极大值:f(x2),f(x5);极大值点:x2和x5极小值:f(x1),f(x4),f(x6);极小值点:x1,x4和x6定理3.5.1定义曲线的凹凸与拐点导数与函数

5、几何性态的关系3.4函数的单调性曲线的凹凸与拐点3.5函数的极值函数的最值3.6曲线作图3.7曲率3.5函数的极值不是极值点情形导数与函数几何性态的关系3.4函数的单调性曲线的凹凸与拐点3.5函数的极值函数的最值3.6曲线作图3.7曲率3.5函数的极值例解注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.3.5函数的极值求极值的步骤:3.5函数的极值极大值极小值3.5.3小结极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为临界点.函数的极值必在临界点取得.判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用

6、条件)导数与函数几何性态的关系3.4函数的单调性曲线的凹凸与拐点3.5函数的极值函数的最值3.6曲线作图3.7曲率函数的最值步骤:1.求嫌疑点;2.比较区间端点及嫌疑点的函数值;3.最大的就是最大值,最小就是最小值;注意:对于实际问题，如果区间内部只有一个极值,则这个极值就是最值.ab步骤:1.求嫌疑点;2.比较区间端点及嫌疑点的函数值;注意:3.最大的就是最大值,最小就是最小值;对于实际问题，如果区间内部只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)函数的最值求函数的最值例1解计算比较得实际问题求最值应注意:(1)建立目标函

7、数;(2)求最值;点击图片任意处播放暂停例2解在开区间上如何求最值？有这样的结论，实际问题中：可知有最小（大）值存在而函数只有一个极小（大）值，则这个极小（大）就是最小（大）值。注意：最值与极值的关系小结注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤.思考题思考题解答结论不成立.因为最值点不一定是内点.例在有最小值，但导数与函数几何性态的关系3.4函数的单调性曲线的凹凸与拐点3.5函数的极值函数的最值3.6曲线作图3.7曲率3.6曲线作图函数的作图需要研究函数的几何性态,是导数应用的综合考察.极大值极小

8、值拐点凹的凸的单增单减极小值单减单增拐点拐点拐点3.6函数图形的描绘图形描绘的步骤3.6.1渐近线3.6.3作图举例例2解非奇非偶函数,无周期性.列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:拐点极小值点作图拐点极小值点思考题解答思考