考研专题辅导——关于方程根的个数和根的唯一性的讨论

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1、六、关于方程根的个数和根的唯一性的讨论解题思路：将方程变形为一边为零，即的形式；1、讨论要的存在性通常有二条途径：（1）若存在，使，利用零点定理；（2）构造函数，使，且存在，使，利用罗尔中值定理。（这一部分可结合本章四）2、讨论根的个数通常由或不存在的点将区间分成若干个单调区间，若区间左右两端的函数值异号，则区间内必有一根，从而找到根的个数；（有时需借且于草图）；3、讨论根的唯一性通常利用函数的单调性，若区间两端函数异号，且函数在区间内连续且单调，则该区间内有且仅有一根。题型二十、根的存在性的讨论例100、设是上以2T为周期的连续函数，证明：在每一个长度为T的闭区间上，方程至少

2、有一实根；证明：设是任意长度为T的闭区间，令，则，（1）若，则均为方程在的实根；（2）若，则，于是由零点定理，必存在，使，得证。例101、设为满足的实数，证明：方程在内有根；证明：令，在区间的两端点处的符号不易确定，改令，则在区间上连续，在内可导，且，故在区间满足罗尔中值定理的条件，由罗尔中值定理得证。例102、设在内可导，且，证明存在，使；分析：令显然无法判断的符号，若令，由于不是一个全微分式，不容易求出，变形方程为或，故可令，则，利用罗尔中值定理。题型二十一、方程仅有一根的证明解题程序：（1）利用零点定理或罗尔定理证明方程至少有一根；（2）利用函数的单调性，证明方程最多有一

3、实根（或用反证法，由中值定理导出矛盾）。例103、设在上函数有连续导数，且，证明：在内有且仅有一根；证明：在上，由，得，即，取，有，因，故存在，使，又由于，故在严格单调增加，所以在内有且仅有一根。例104、设函数在上可导，且，证明：在（0，1）内有唯一的实根；证明：先证存在性，令，则在上连续，且，由零点定理存在，使，即为方程在（0，1）内的实根；再证唯一性：若存在为方程的两个不同的实根，即，则在上满足罗尔中值定理的条件，则，使，又，即有矛盾。例105、设在区间上，且，又在的任意子区间，，证明方程在上至多有一个根；证明：（反证法）假设方程在上有两个不同的实根，显然在上连续，，由闭

4、区间上连续函数的性质，存在，使，将在点展开成一阶泰勒公式，，介于之间，由于，，知对任意，；若对任意，与题设条件矛盾；若存在一点，使得，则与是在上的最大值点矛盾，故方程在上至多有一个根。例106、设当时，方程有且仅有一个解，求的取值范围；解：设（1）当，故在严格单调减少，又，当时，，当时，，所以当时原方程在有且仅有一个解；（2）当时，令得唯一驻点，又由于知有极小值点且函数的图象在内是凹的，所以当极小值即时原方程有且仅有一个解，由上式得，而当时，方程无解或有两个解；综上所述，当或时原方程在有且仅有一个解。例107、设，求证（1）任给自然数，方程在之间有且仅有一个根；（2）设是方程的

5、根，则；证明：（1）当时，有，当时，，由连续函数的介值定理知存在，使，存在性得证；下证唯一性，由于，，即在上严格单调减少，因此在之间有且仅有一个根；（2）先证明序列单调递增，由于，有及在上严格单调减少，即得，由有（1）知，因此知序列单调递增且有界，故序列有极限，即存在，设，由于知，当时，，知，知，在两边同乘得，令，有，解之得，故有。