关于数学解题中由等式发现方程的根与方程的根含义的几

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1、关于数学解题中“由等式发现方程的根与方程的根含义”的几点思考海南华侨中学李红庆数学解题中，由某些等式发现某个值是方程的根，能把解题过程变得非常简捷明了，这不仅缩短了解题时间而且拓展了解题视野；对方程的根的含义的思考不仅是数学问题的纯粹性和完备性的要求而且有助于发现和找到解决问题的思路．本文谈谈笔者对上述问题的几点思考．1．由等式发现方程的根的有关问题案例1．已知点A，B是半圆2cosr（0）上的两点，直线l经过点2Ka(2,)（0ar）点，且与极轴垂直，点A，B在直线l上的射影分别是M

2、，N，且OAAM，OBBN（O为极点），求证：OAOB2r．解析：设点A(,)，B(,)，由于点A是半圆2cosr上的点，则有112212cosr，即cos．……⑴，由OAAM得，2caos．……⑵1111112r2由⑴、⑵得，2ra40r．……⑶112同理，得，24rar0．……⑷222根据⑶、⑷知，，是方程2r4ar0的两根，12因此，依韦达定理得，2r，即OAOB2r．122问题剖析：由等式⑶、⑷发现了，

3、都满足方程2r4ar0．因此，，12122就是方程240rar的两根，以所由韦达定理和，的实际意义问题得到解决．思12考一下问题形成的机理，就会发现，实际上符合共同的属性：既是半圆的弦长又是抛12物线的焦半径，所以，就一定适合某个共同属性的等式关系．这样的解题方法体现了12“用联系的观点看问题”的哲学思想．对两个等式是整式的二次形式发现方程的根应该是比较简单，对可化为整式的二次形式xy的分式等式的发现则相对困难些．如：已知，R，直线1sinsins

4、incosxy与1的交点在直线xy0上，试求cossincoscossincossincos的值．解析：依题意，可设两直线的交点为(,)xx，则有xx1．……………⑸sinsinsincosxx1．……………⑹cossincoscosxx由⑸、⑹知，sin，cos是方程1的两根，ttsincos2即sin，cos是方程tt(cossin)x(sincos)0的两根，由韦达定理，得si

5、ncos(sincos)，因此，sincossincos0．22案例2：抛物线yp2x（p0）的内接三角形有两边与抛物线x2qy（q0）2相切．试证明：这个三角形的第三边也与x2qy相切．2222解析：设yp2x的内接三角形为△ABC，设A(,)，B(,)，C(,)，且，2p2p2p2p2p2p，互不相等．则k，运用类比思想，轮换可得，k，k．AB22BCCA22pp22p因此，直线AB的方程：yx

6、()，即直线AB的方程是：2p2()pxy0．…………⑺运用类比思想，轮换可得，直线BC的方程是：2()pxy0．…………⑻直线CA的方程是：2(px)y0．…………⑼2将⑺代入x2qy中消去y，有2()42xpqxq0．…………⑽，利用轮换可得，22将⑻代入x2qy得，()42xpqxq0．…………⑾，22将⑼代入x2qy得，()42xpqxq0．…………⑿2因为直线AB与抛物线x2qy相切，

7、则⑽的判别式为零，于是，2222△8[2qpq()]0，即2pq0．…………⒀AB2同理，直线BC与抛物线x2qy相切，则⑾的判别式为零，得2222pq0．…………⒁222由⒀、⒁知，，是一元二次方程ttp2q0的两实数根，由韦达定理，得22pq，．2222pq所以，⑿式的判别式△8[2qpq()]8[2qpq()]0．CA2由于⑿式的判别式等于零，因此，⑿式有两个相等的实根，即直线CA与抛物线x

8、2qy也相切．222问题剖析：由⒀、⒁发现，是一元二次方程ttp2q0的两实数根，从而得到⑿式的判别式等于零．本题解答比较简捷，主要技能是利用了类比轮换的思想方法和发现等式中方程的根，当发现了等式中方程的根时就有一种“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉．2．紧扣“方程的根的含义”思考问题1案例3：已知：sincos，且0，试求sin和cos的值．51解析：设sint（0t1）