一阶中立型微分方程的反周期解的存在性

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1、一阶中立型微分方程的反周期解的存在性【摘要】本文利用Krasnoselskiis不动点定理，可以使我们得到中立型微分方程反周期解的一些存在性定理，而口这些定理还可以进一步扩展并能提供给我们一些己知的重耍结论.【关键词】中立型微分方程；反周期解；Krasnoselskiis不动点定理;存在性【基金项目】《高等数学教学团队》为2014年安徽三联学院的基金项目,编号：14zlgc005一、引言反周期解一开始是用来解决物理问题的，而且还可以被我们引入并用来解决物理过程、工程学、神经网络学，控制理论学等其他学科中的一些数学模型问题.(见1-30,参考文献)据作者了解，几乎很少冇文献能够详细地分析中

2、立型微分方程的反周期解•所以本文中，我们将考虑如下中立型微分方程：[u(t)-p(t)u(t-T)J,=-q(t)u(t)+g(t,u(t-T))・(1.1)英中满足qwc(R,(0,+8)),peci(R,R),feC(RXR,R),t>0且P，q均是以T为周期的函数，函数f又满足条件f(t+T,x)二-f(t,x)・本文的内容分布如下：在下面第二部分的内容中，我们首先引入一些定义和引理•在第三部分内容中，我们通过利用Krasnoselskii's不动点定理，得到方程(1・1)式的以T?橹芷诘姆粗芷谓獲嬖诘囊恍」松?•在第四部分，我们会在第三部分内容的基础上介绍一些实例，通过这些实例来

3、进一步论证我们所得结论的可行性.二、定义和引理在这一部分内容屮，我们将介绍一些定义、注释，以及引理.定义2.1(反周期函数)函数u(t),uec(R,R)若满足u(t+T)=-u(t),则称它为周期是T的反周期函数.定义PT(R,X)={x：xec(R,R),x(t+T)=-x(t),teR}为反周期函数集合，且用符号llxll=sup{

4、x(t)I，teR}表示x的范数，很显然，集合PT(R,X)为Banach空间.设积分方程X(t)二lp(t+T)[x(t+T)+jt+t+Tt+TG(t+T,s)(p(s)q(s)X(s-T)-f(s,X(s-T)))ds]・(2・1)且满足G(t,

5、s)二expjstq(u)duexpjTOq(u)duT.引理2.lu(t)是方程(1.1)的反周期解当且仅当u(t)是方程(2.1)的反周期解.引理2.2(Krasnoselskiis不动点定理)•令X是一个Banach空间，Q是X的一个有界闭凸子集，再设SI,S2是Q到X上的两个映射，还满足对每一对x,yeQ,均有这样一个组合Slx+S2yeQ.如果S1是压缩的,S2是全连续的，则方程Slx+S2x二x在集合Q上一定有解.三、反周期解的存在性定理3.1假设l〈plWp(t)Wp2〈+8,且存在一个常数不等式0

6、M,(t,x)W[0,T]X[m,M],(3.1)则方程(1・1)式至少有一个反周期解.证明根据引理2.1,我们知道u(t)是方程(1.1)式的反周期解的充要条件是u(t)也是方程(2.1)式的反周期解•我们设一个集合S=｛xePT(R,X)：mWxWM｝，很显然这个集合是PT(R,X)的有界闭凸子集.下面再定义两个算子：所以，我们从(3.8)式和(3.9)式中得出｛Ox：xeX｝在[0,T]±是一致有界和等度连续的•因此根据Ascoli-Arzela定理，(①x)是列紧的•故由引理2.2,存在一个xes,使得这样一个方程①x+屮x二x成立.故x(t)是方程(11)式的反周期解•证毕.按

7、照定理3.1的结论，我们可以得出下列三个结论和定理(3.1)结论相同的定理.定理3.2假设满足-8〈p3Wp(t)Wp4〈-1,且存在不等式0

8、m