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《一类中立型泛函微分方程周期解的存在性与唯一性new》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第42卷第2期东北师大学报(自然科学版)Vol.42No.22010年6月JournalofNortheastNormalUniversity(NaturalScienceEdition)June2010[文章编号]100021832(2010)0220021206一类中立型泛函微分方程周期解的存在性与唯一性1,22陈志彬,黄立宏(1.湖南工业大学理学院,湖南株洲412000;2.湖南大学数学与计量经济学院,湖南长沙410082)[摘要]运用分析方法,利用Krasnoselskii不动点理论,对一类中立型泛函微分方程存在周期解进行了定性与定量的研究,获得了这一类泛函微分方程周期解存在
2、性与唯一性的充分条件,推广了相关研究的主要结论.[关键词]中立型;微分方程;周期解;存在性;唯一性;不动点理论[中图分类号]O19[学科代码]110·51[文献标志码]A0引言中立型泛函微分方程在信号传输网络中具有广泛的应用背景,近年来,其周期解的存在性受到数学[128]工作者的高度重视,取得了一系列的成果.文献[2]用锥不动点理论,研究了泛函微分方程x′(t)=-a(t,x(t))x(t)+f(t,xt)(1)周期解的存在性;文献[3]用重合度理论研究了泛函微分方程x′(t)+ax′(t-τ)=f(t,x(t)),(2)在
3、a
4、≤1的条件下,存在周期解的问题.研究中立型泛函微分方程
5、周期解的存在性方法,概括起来有:不动点理论、重合度理论和Lyapunov泛函的方法.然而,研究周期解唯一性的工作却较少.本文利用Krasnoselskii不动点理论及分析的方法,讨论更一般形式的中立型泛函微分方程ndx(t)+∑cix(t-τi)=-a(t)g(x(t))x(t)+f(t,x(t-σ(t)))(3)dti=1+周期解的存在性与唯一性.其中:σ∈C(R,R);f∈C′(R×R,R);a,g∈C(R,R);a,f,σ关于t是T周期函数,τi>0(i=1,2,⋯,n)为常量.设函数g,f总满足下列条件:(A1)存在正常数l1,l2和L,使得l1≤g(x)≤l2及
6、f(t,x
7、1)-f(t,x2)
8、≤L
9、x1-x2
10、成立.+(A2)存在非负有界函数ρ(x)∈C(R,R)及常数b∈(0,1),对于任给ui,vi∈R(i=1,2),有不等式
11、u1g(v1)-u2g(v2)
12、≤
13、u1-u2
14、ρ(‖v1-v2‖)成立,其中nT1Taa=a(t)dt,ω=e,b=∑
15、ci
16、<1.T∫0i=1[收稿日期]2009208226[基金项目]国家自然科学基金资助项目(60775047);湖南省教育科学基金资助项目(060D74).[作者简介]陈志彬(1965—),男,硕士,副教授,主要从事泛函微分方程研究.©1994-2010ChinaAcademicJournalElec
17、tronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net22东北师大学报(自然科学版)第42卷9f(t,x)(A3)任意x1,x2∈C(R,R),有<0,且a(t)(x1-x2)(x1g(x1)-x2g(x2))>0;或者是9x9f(t,x)>0,且a(t)(x1-x2)(x1g(x1)-x2g(x2))<0.9x1预备知识为了方便,引入如下记号:1T22‖x‖2=
18、x(t)
19、dt,‖x‖∞=max
20、x(t)
21、,‖x‖0=sup
22、x(t)
23、,∫0t∈[0,T]t∈Rx=x(t)∈C′(R,R)
24、x(t+T)=x(t),XT
25、(M)=x(t)∈C′(R,R)
26、x(t)∈X,‖x‖0≤M.于是,集合X是以‖x‖0为范数的Bananch空间.在函数集XT(M)上,显然有‖x‖∞=‖x‖0.T[9]引理1设x(t)∈C(R,R),且满足x(0)=x(T),x(t)dt=0,则如下不等式成立:∫011TT22T22(1)
27、x(t)
28、dt≤
29、x′(t)
30、dt;∫02π∫01TT22(2)max
31、x(t)
32、≤
33、x′(t)
34、dt.t∈[0,T]12∫0引理2设x(t)∈C(R,R),且满足x(0)=x(T),如果存在正常数d,对于任意t∈[0,T]使得
35、x(t)
36、≤d,则不等式11TT22T22
37、x(t)
38、dt≤
39、x′
40、(t)
41、dt+Td∫02π∫0成立.T1证明令X(t)=x(t)-x(t)dt,T∫0由引理1得11TT22T22
42、X(t)
43、dt≤
44、X′(t)
45、dt,(4)∫02π∫0不等式(4)化为11T2T2T1T2222
46、x(t)
47、dt≤2
48、x′(t)
49、dt+x(t)dt≤∫04π∫0T∫01TTT221
50、x′(t)
51、dt+
52、x(t)
53、dt≤2π∫0T∫01TT22
54、x′dt
55、+Td.2π∫0引理3(Krasnoselskii不动点定理)设K是Banach空间X的
