全微分及其应用

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1、一、全微分的定义二*、全微分在近似计算中的应用§8.3全微分及其应用上页下页铃结束返回首页一、全微分的定义————函数f(x,y)对x的偏微分——函数f(x,y)对y的偏增量————函数f(x,y)对y的偏微分全增量zf(xx,yy)f(x,y).偏增量与偏微分f(xx,y)f(x,y)fx(x,y)x,f(x,yy)f(x,y)fy(x,y)y,——函数f(x,y)对x的偏增量下页根据一元函数微分学中增量与微分的关系,有f(xx,y)f(x,y)f(x,yy)f(x,y)fx(x,y)xfy(x,y)y全微分的定义其中A、B不依赖于x

2、、y而仅与x、y有关,则称函数zf(x,y)在点(x,y)可微分,而AxBy称为函数zf(x,y)在点(x,y)的全微分,记作dz,即dzAxBy.如果函数在区域D内各点处都可微分,那么称这函数在D内可微分.下页如果函数zf(x,y)在点(x,y)的全增量zf(xx,yy)f(x,y)可表示为可微分与连续偏导数存在不一定连续,但可微分必连续.这是因为,如果z=f(x,y)在点(x,y)可微,则zf(xx,yy)f(x,y)AxByo(r),因此函数z=f(x,y)在点(x,y)处连续.下页于是从而可微分的必要条件>>>应注意的问

3、题>>>下页可微分与连续偏导数存在不一定连续,但可微分必连续.如果函数zf(xy)在点(xy)可微分则函数在该点的偏导偏导数存在是可微分的必要条件但不是充分条件可微分的充分条件以上结论可推广到三元及三元以上函数.下页可微分的必要条件可微分与连续偏导数存在不一定连续,但可微分必连续.如果函数zf(xy)在点(xy)可微分则函数在该点的偏导则函数在该点可微分.叠加原理按着习惯,x、y分别记作dx、dy,并分别称为自变量的微分,这样函数z=f(x,y)的全微分可写作二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理.叠加原理也适用于二元以上的函数

4、,例如uf(x,y,z)的全微分为下页例1计算函数zx2yy2的全微分.解所以例2计算函数zexy在点(2,1)处的全微分.解所以dz2xydx(x22y)dy.dze2dx2e2dy.下页因为因为解首页例3因为所以二*、全微分在近似计算中的应用当函数zf(x,y)在点(x,y)的两个偏导数fx(x,y),fy(x,y)连续,并且

5、x

6、,

7、y

8、都较小时,有近似等式zdzfx(x,y)xfy(x,y)y,即f(xx,yy)f(x,y)fx(x,y)xfy(x,y)y.我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算.下页例4有一圆柱体,受压

9、后发生形变,它的半径由20cm增大到20.05cm,高度由100cu减少到99cm.求此圆柱体体积变化的近似值.解设圆柱体的半径、高和体积依次为r、h和V,则有Vr2h.即此圆柱体在受压后体积约减少了200cm3.2201000.05202(1)VdV2rhrr2h200(cm3),VrrVhh下页f(xx,yy)f(x,y)fx(x,y)xfy(x,y)y.zdzfx(x,y)xfy(x,y)y,已知r20,h100,r0.05,h1,根据近似公式,有例5计算(1.04)2.02的近似值

10、.(1.04)2.02所以xyyxy1xxylnxy,f(xx,yy)f(x,y)fx(x,y)xfy(x,y)y1.08.1221210.0412ln10.02解设函数f(x,y)xy.显然,要计算的值就是函数在x1.04,y2.02时的函数值f(1.04,2.02).结束f(xx,yy)f(x,y)fx(x,y)xfy(x,y)y.zdzfx(x,y)xfy(x,y)y,因为取x1,y2,x0.04,y0.02.