全微分及其应用(II)

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1、全微分的概念与计算一、全微分的定义二、全微分存在的条件三、全微分的几何意义四、全微分在近似计算中的应用复习:一元函数y=f(x)的微分其中函数可导函数连续即一、全微分的定义设二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义.当自变量x，y在点(x0,y0)的该邻域内分别取得增量和时，函数的全增量为例1设矩形金属薄板长为x，宽为y，则面积S=xy.薄板受热膨胀，长自x0增加，宽自y0增加，其面积相应增加全增量由三项组成.比其余两项小得多.所以全增量只是的函数.将增量分离出和的线性部分,再加上一项比高阶的无穷小.

2、又因为x0，y0为常数，定义设二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义，如果z=f(x,y)在点(x0,y0)的全增量可表示为其中A，B与无关，是比高阶的无穷小，则称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分，记作dz，即也称函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微.二、全微分存在的条件1.必要条件2.充分条件3.定理1(必要条件)若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该函数在该点偏导数必存在,且有机动目录上页下页返回结束注意:定理1的逆定理不成立.偏导数存在函数不一定可微!函数z=

3、f(x,y)在点(x,y)可微函数在该点连续定理2(充分条件)若函数的偏导数则函数在该点可微分.机动目录上页下页返回结束函数可导函数可微偏导数连续函数连续回头看全微分公式推广:类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如,三元函数的全微分为例1解例2解例3解xyoMN.f(x)dyx微分是函数的局部线性化.用切线增量近似曲线增量dydy=在图上是哪条线段？=tanx复习一元函数微分即：.y微分的几何意义三、全微分的几何意义空间中的平面方程几何意义xzy0PQMNxyABdz=AB:切面立标的增量z=f(

4、x,y)z=AN：曲面立标的增量过点M的切平面：即：dzz=AB+BN.dz=AB用切面立标的增量近似曲面立标的增量dz全微分的几何意义四、全微分在近似计算中的应用有一圆柱体,受压后发生形变,它的半径有20cm增大到20.05cm,高度由100cm减少到99cm.求此圆柱体体积变化的近似值.设圆柱体的半径、高和体积依次为r,h和V,则有例4解例5解例6解从而g的相对误差约为例7解例8证内容小结1.微分定义:2.重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续机动目录上页下页返回结束3.微分应用•近似计算•估计误差绝对误

5、差相对误差机动目录上页下页返回结束思考与练习1.P130题1(总习题9)函数在可微的充分条件是()的某邻域内存在;时是无穷小量;时是无穷小量.2.选择题机动目录上页下页返回结束答案:也可写作:当x=2,y=1,△x=0.01,△y=0.03时△z=0.02,dz=0.033.P130题7机动目录上页下页返回结束4.设解:利用轮换对称性,可得机动目录上页下页返回结束(L.P245例2)注意:x,y,z具有轮换对称性