等差数列与等比数列复习小结

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1、山西省朔州市应县四中高二数学学案（十一）等差数列与等比数列编写人：朱强基考纲要求1理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。2掌握等差数列与等比数列的概念、通项公式、前n项和的公式，并能够运用这些知识解决一些问题。重点、难点归纳1数列的有关概念数列：按照一定的次序排列的一列数。通项公式：数列的第n项an与n之间的函数关系如果能够用一个解析式来表示，则这个解析式就叫做这个数列的通项公式。2数列的表示法列举法：如a1，a2，a3，…，an，…图象法：用孤立的点(n，an)来表示解析法：即

2、用通项公式来表示递推法：一个数列的各项可由它的前m项的值以及与它相邻的m项之间的关系来表示3数列的分类有穷数列与无穷数列有界数列与无界数列常数列、递增数列、递减数列、摆动数列4an与Sn的关系Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an；an＝S1(n＝1时)，an＝Sn－Sn－1(n≥2时)。5等差数列与等比数列概念比较等差数列等比数列定义如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，则这个数列就叫做等差数列，其中的常数叫做等差数列的公差，用字母d表示。如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，则这个数列就

3、叫做等比数列，其中的常数叫做等比数列的公比，用字母q表示。通项等差数列：an＝a1＋(n－1)d。an＝am＋(n－m)d等比数列：an＝a1qn－1。an＝amqn－m。中项如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，并且。如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，并且。前n项和公式等差数列{an}前n项的和为。12Ⅰ.设数列是等差数列，其奇数项之和为、偶数项之和为，那么，当项数为偶数2n时，；当项数为奇数2n＋1时，Ⅱ.在等差数列｛｝中,有关Sn的最值问题：(1)当>0,d<0时，满足的项数m使得取最大

4、值.(2)当<0,d>0时，满足的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。Ⅲ.等比数列{an}前n项的和为Sn＝na1，(q＝1时)；Sn＝，(q≠1时)。6等差数列与等比数列的常用性质比较等差数列等比数列与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和；与首末两项等距离的两项之积等于首末两项之积对于等差数列{an}，若p＋q＝m＋n，则ap＋aq＝am＋an。对于等比数列{an}，若p＋q＝m＋n，则apaq＝aman。项数成等差数列的等差数列的项仍然是等差数列；项数成等差数列的等比数列的项仍然是等比数

5、列；和S2n－1＝(2n－1)an；积T2n-1=an2n-1m个等差数列，它们的各对应项之和组成一个新的等差数列；m个等比数列，它们的各对应项之积组成一个新的等比数列；若对等差数列按连续m项进行分组，则每组中m项的和所组成的数列是等差数列。若对等比数列按连续m项进行分组，则每组中m项的和所组成的数列是等比数列。（1）正数等比数列各项的（同底）对数值，依次组成等差数列.即｛｝为等比数列且（i=1,2……,n,……）｛｝(且)为等差数列；若定义＝，则｛｝亦为等差数列.（2）取一个不等于1的正数为底数，则以等差数列各项为指数的方

6、幂依次组成等比数列.即设a>0且a≠1，则｛｝为等差数列｛｝为等比数列.（3）｛｝既是等差数列，又是等比数列｛｝是非零常数列.12学法探秘1对数列的理解用函数的观点理解数列数列是定义在自然数集或其有限子集上的函数。数列问题本质上就是函数问题，所以要学会用函数观点看数列问题。a.对于等差数列，∵an=a1+（n－1）d=dn+（a1－d），当d≠0时，an是n的一次函数，对应的点（n，an）是位于直线上的若干个点.当d＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d=0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d＜0时，函数是减

7、函数，对应的数列是递减函数.若等差数列的前n项和为Sn，则Sn=pn2+qn（p、q∈R）.当p=0时，{an}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题.b.对于等比数列：an=a1qn－1.可用指数函数的性质来理解.当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，等比数列是递增数列；当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数列{an}是递减数列.当q=1时，是一个常数列.当q＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列.注意数列与集合的区别与联系数列与集合都是具有某种属性的数的全体，只不过数列中的数有次序

8、而且可以重复出现。数列的通项公式数列的通项公式可以代表数列中的任何一项，但并不是每一个数列均有通项公式。反之，当一个数列有通项公式时，其通项公式并不唯一。2等差数列与等比数列的判定方法为等差数列Ûan＋1－an＝d(d为常数)Û2an＋1＝an＋an＋2(nÎN