等差数列与等比数列复习

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1、等差数列与等比数列复习数列基本概念数列是一种特殊函数，对于数列这种特殊函数，着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质，依据这些性质将数列分类：依定义域分为：有穷数列、无穷数列；依值域分为：有界数列和无界数列；依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。数列的表示方法：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法）；数列通项：2、等差数列1、定义当,且时，总有，d叫公差。2、通项公式1）、从函数角度看是n的一次函数，其图象是以点为端点,斜率为d斜线上一些孤立点。2）、从变形角度看,即可从两个不同方向认识同一数列，公差

2、为相反数。又,相减得，即.若n>m，则以为第一项，是第n-m+1项，公差为d；若n

3、用的“错位相消法”，可以用在相减后所得式子能够求和的情形。如，公差为d的等差数列，，则，相减得，当时，，当时，；3）从函数角度看是n的函数，此时q和是常数。4、等差与等比数列概念及性质对照表名称等差数列等比数列定义，通项公式变式：性质中项单调性时增时常数列时减或增；或时减；时常数列，时摆动数列前n项和（推导方法：倒加法）（推导方法：错位相消法）结论1、等差,公差d，则等差公差kd；子数列等差,公差md;若等差，公差，则等差，公差。等比,公比q，则等比，公比q;等比,公比;等比,公比。子数列等比，公比;若等差,公差d,则等比,

4、公比为。2、等差,公差d则等差，公差2d;等差,公差3d.等差,公差,且即连续相同个数的和成等差数列。等比,公比q,则等比，公比;等比，公比；等比，公比q;等比，公比，（当k为偶数时，）。3、等差.公差等比，公比4、等差共2n项，则等差，共2n+1项，则=5、等差等比,公比q联系1、各项不为0常数列，即是等差，又是等比。2、通项公式.3、等差，公差d，,则,即等比，公比.4、等比，公比q,,即等差,公差.5、等差,等比,则前n项和求法，利用错位相消法6、求和方法：公式法，倒加法，错位相消法，裂项法，累加法，累积法，等价转化法

5、等。5、递推数列表示数列中相邻的若干项之间关系的式子叫数列递推公式。作为特殊的函数，数列可用递推式表示。求递推数列通项公式常用方法：公式法、归纳法、累加法、累乘法。特别的，累加法是求形如递推数列的基本方法，其中数列可求前n项和，即；累乘法是求形如递推数列通项公式的基本方法，其中数列可求前n项积，即.例1设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列{}的前n项和，求Tn.解：设等差数列{an}的公差为d，则Sn=na1+n（n－1）d.∵S7=7，S15=75，∴即解得a1=－2，

6、d=1.∴=a1+（n－1）d=－2+（n－1）=.∴－=.∴数列{}是等差数列，其首项为－2，公差为.∴Tn=n2－n.例2设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=12，S12＞0，S13＜0.（1）求公差d的取值范围；（2）指出S1，S2，S3，…，S12中哪一个最大，并说明理由.解：（1）a3=12，∴a1=12－2d，解得a12=12+9d，a13=12+10d.由S12＞0，S13＜0，即＞0，且＜0，解之得－＜d＜－3.（2）易知a7＜0，a6＞0，故S6最大.变式训练4设等差数列的前n项和为,若,,则当取

7、最小值时,n等于(A)A．6B．7C．8D．9【解析】设该数列的公差为，则，解得，所以，所以当时，取最小值。小结与拓展：1.等差数列的前项和为，在时，有最大值.如何确定使取最大值时的值，有两种方法：一是求使，成立的值；二是由利用二次函数的性质求的值.2.等差数列{an}中，当a1＜0，d＞0时，数列{an}为递增数列，Sn有最小值；当a1＞0，d＜0时，数列{an}为递减数列，Sn有最大值；当d=0时，{an}为常数列.例3已知等比数列的前项和为，且．（1）求、的值及数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．解析（1）当时，

8、．而为等比数列，得，即，从而．又．（2），两式相减得，因此，例4在等差数列中，，前项和满足，（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记，求数列的前项和．解析（Ⅰ）设等差数列的公差为，由得，所以，即，所以．（Ⅱ）由，得．故，当时，；当时，，即．例5（2009江西卷文）公差不为零的等差数列的前项和为.若