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时间:2019-06-16
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1、等差数列与等比数列复习数列基本概念数列是一种特殊函数,对于数列这种特殊函数,着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质,依据这些性质将数列分类:依定义域分为:有穷数列、无穷数列;依值域分为:有界数列和无界数列;依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。数列的表示方法:列表法、图象法、解析法(通项公式法及递推关系法);数列通项:2、等差数列1、定义当,且时,总有,d叫公差。2、通项公式1)、从函数角度看是n的一次函数,其图象是以点为端点,斜率为d斜线上一些孤立点。2)、从变形角度看,即可从两个不同方向认识同一数列,公差
2、为相反数。又,相减得,即.若n>m,则以为第一项,是第n-m+1项,公差为d;若n3、用的“错位相消法”,可以用在相减后所得式子能够求和的情形。如,公差为d的等差数列,,则,相减得,当时,,当时,;3)从函数角度看是n的函数,此时q和是常数。4、等差与等比数列概念及性质对照表名称等差数列等比数列定义,通项公式变式:性质中项单调性时增时常数列时减或增;或时减;时常数列,时摆动数列前n项和(推导方法:倒加法)(推导方法:错位相消法)结论1、等差,公差d,则等差公差kd;子数列等差,公差md;若等差,公差,则等差,公差。等比,公比q,则等比,公比q;等比,公比;等比,公比。子数列等比,公比;若等差,公差d,则等比,4、公比为。2、等差,公差d则等差,公差2d;等差,公差3d.等差,公差,且即连续相同个数的和成等差数列。等比,公比q,则等比,公比;等比,公比;等比,公比q;等比,公比,(当k为偶数时,)。3、等差.公差等比,公比4、等差共2n项,则等差,共2n+1项,则=5、等差等比,公比q联系1、各项不为0常数列,即是等差,又是等比。2、通项公式.3、等差,公差d,,则,即等比,公比.4、等比,公比q,,即等差,公差.5、等差,等比,则前n项和求法,利用错位相消法6、求和方法:公式法,倒加法,错位相消法,裂项法,累加法,累积法,等价转化法5、等。5、递推数列表示数列中相邻的若干项之间关系的式子叫数列递推公式。作为特殊的函数,数列可用递推式表示。求递推数列通项公式常用方法:公式法、归纳法、累加法、累乘法。特别的,累加法是求形如递推数列的基本方法,其中数列可求前n项和,即;累乘法是求形如递推数列通项公式的基本方法,其中数列可求前n项积,即.例1设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列{}的前n项和,求Tn.解:设等差数列{an}的公差为d,则Sn=na1+n(n-1)d.∵S7=7,S15=75,∴即解得a1=-2,6、d=1.∴=a1+(n-1)d=-2+(n-1)=.∴-=.∴数列{}是等差数列,其首项为-2,公差为.∴Tn=n2-n.例2设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.(1)求公差d的取值范围;(2)指出S1,S2,S3,…,S12中哪一个最大,并说明理由.解:(1)a3=12,∴a1=12-2d,解得a12=12+9d,a13=12+10d.由S12>0,S13<0,即>0,且<0,解之得-<d<-3.(2)易知a7<0,a6>0,故S6最大.变式训练4设等差数列的前n项和为,若,,则当取7、最小值时,n等于(A)A.6B.7C.8D.9【解析】设该数列的公差为,则,解得,所以,所以当时,取最小值。小结与拓展:1.等差数列的前项和为,在时,有最大值.如何确定使取最大值时的值,有两种方法:一是求使,成立的值;二是由利用二次函数的性质求的值.2.等差数列{an}中,当a1<0,d>0时,数列{an}为递增数列,Sn有最小值;当a1>0,d<0时,数列{an}为递减数列,Sn有最大值;当d=0时,{an}为常数列.例3已知等比数列的前项和为,且.(1)求、的值及数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.解析(1)当时,8、.而为等比数列,得,即,从而.又.(2),两式相减得,因此,例4在等差数列中,,前项和满足,(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)记,求数列的前项和.解析(Ⅰ)设等差数列的公差为,由得,所以,即,所以.(Ⅱ)由,得.故,当时,;当时,,即.例5(2009江西卷文)公差不为零的等差数列的前项和为.若
3、用的“错位相消法”,可以用在相减后所得式子能够求和的情形。如,公差为d的等差数列,,则,相减得,当时,,当时,;3)从函数角度看是n的函数,此时q和是常数。4、等差与等比数列概念及性质对照表名称等差数列等比数列定义,通项公式变式:性质中项单调性时增时常数列时减或增;或时减;时常数列,时摆动数列前n项和(推导方法:倒加法)(推导方法:错位相消法)结论1、等差,公差d,则等差公差kd;子数列等差,公差md;若等差,公差,则等差,公差。等比,公比q,则等比,公比q;等比,公比;等比,公比。子数列等比,公比;若等差,公差d,则等比,
4、公比为。2、等差,公差d则等差,公差2d;等差,公差3d.等差,公差,且即连续相同个数的和成等差数列。等比,公比q,则等比,公比;等比,公比;等比,公比q;等比,公比,(当k为偶数时,)。3、等差.公差等比,公比4、等差共2n项,则等差,共2n+1项,则=5、等差等比,公比q联系1、各项不为0常数列,即是等差,又是等比。2、通项公式.3、等差,公差d,,则,即等比,公比.4、等比,公比q,,即等差,公差.5、等差,等比,则前n项和求法,利用错位相消法6、求和方法:公式法,倒加法,错位相消法,裂项法,累加法,累积法,等价转化法
5、等。5、递推数列表示数列中相邻的若干项之间关系的式子叫数列递推公式。作为特殊的函数,数列可用递推式表示。求递推数列通项公式常用方法:公式法、归纳法、累加法、累乘法。特别的,累加法是求形如递推数列的基本方法,其中数列可求前n项和,即;累乘法是求形如递推数列通项公式的基本方法,其中数列可求前n项积,即.例1设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列{}的前n项和,求Tn.解:设等差数列{an}的公差为d,则Sn=na1+n(n-1)d.∵S7=7,S15=75,∴即解得a1=-2,
6、d=1.∴=a1+(n-1)d=-2+(n-1)=.∴-=.∴数列{}是等差数列,其首项为-2,公差为.∴Tn=n2-n.例2设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.(1)求公差d的取值范围;(2)指出S1,S2,S3,…,S12中哪一个最大,并说明理由.解:(1)a3=12,∴a1=12-2d,解得a12=12+9d,a13=12+10d.由S12>0,S13<0,即>0,且<0,解之得-<d<-3.(2)易知a7<0,a6>0,故S6最大.变式训练4设等差数列的前n项和为,若,,则当取
7、最小值时,n等于(A)A.6B.7C.8D.9【解析】设该数列的公差为,则,解得,所以,所以当时,取最小值。小结与拓展:1.等差数列的前项和为,在时,有最大值.如何确定使取最大值时的值,有两种方法:一是求使,成立的值;二是由利用二次函数的性质求的值.2.等差数列{an}中,当a1<0,d>0时,数列{an}为递增数列,Sn有最小值;当a1>0,d<0时,数列{an}为递减数列,Sn有最大值;当d=0时,{an}为常数列.例3已知等比数列的前项和为,且.(1)求、的值及数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.解析(1)当时,
8、.而为等比数列,得,即,从而.又.(2),两式相减得,因此,例4在等差数列中,,前项和满足,(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)记,求数列的前项和.解析(Ⅰ)设等差数列的公差为,由得,所以,即,所以.(Ⅱ)由,得.故,当时,;当时,,即.例5(2009江西卷文)公差不为零的等差数列的前项和为.若
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