高二数学教学设计：球（二）

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1、球（二） 　　●教学目标　　(一)教学知识点　　1．利用“分割——求近似和——化为准确和”的思想方法推导球体积公式：V＝pR3．　　2．球体积公式V＝pR3的应用．　　3．几何体的接切问题．　　(二)能力训练要求　　1．使学生了解这种“分割——求近似和——化为准确和”的思想方法．　　2．使学生熟练掌握球体积公式V＝pR3．　　3．使学生能熟练解决几何体的相接相切问题．　　(三)德育渗透目标　　培养学生用普遍联系的观点看问题． 　　●教学重点　　球体积公式V＝pR3的应用． 　　●教学难点　　了解“分割——求近似和——化为准确和”的思想方法

2、． 　　●教学方法　　启发式　　由于对推导球体积公式V＝pR3的过程并不要求学生准确掌握，重要的是让学生必须了解推导过程中所用的基本数学思想方法，即“分割——求近似和——化为准确和”这一重要的数学思想方法，这将有利于学生进一步学习微积分和近代数学知识．因此教师只须指导学生体会用“分割——求近似和——化为准确和”的这一重要数学思想在研究数学问题中的应用即可．　　球体积公式V＝pR3的应用尤为重要．本节通过引入几何体的接切概念，将球体积公式的应用体现在与球有关的接切问题中．教学中，在解决与球有关的接切问题时，教师要启发学生自己归纳：在一般情况

3、下，需要通过作一个怎样的适当截面，就可以将问题转化平面问题去解决． 　　●教具准备　　多媒体课件一个：　　作球O，过球心O作一截面，得一半球，则半球的底面是截面⊙O，把半球的垂直于底面的半径OA作n等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n层．让学生观察得，若n无限大时，每一层都是近似于圆柱形状的“小圆片”．　　投影片四张：　　第一张：本课时教案练习(记作§9．10．2A)　　第二张：课本P68例2(记作§9．10．2B)　　第三张：本课时教案例1(记作§9．10．2C)　　第四张：本课时教案例2(记作§9．10．2D) 　

4、　●教学过程 　　Ⅰ．复习回顾　　［师］上节课我们讨论了球及其性质，学会了求地球上两点间的球面距离，现在请大家思考：若A、B为球面上相异的两点，则通过A、B可作的大圆个数为几个？为什么？　　(学生思考，动手画)　　［生甲］一个，因为A、B及球心O三点确定一个平面，所以这样的大圆只有一个．　　［师］有不同意见吗？　　［生乙］一个或无数个，当A、B及球心O不共线时，可作一个大圆；当A、B恰是球直径的两个端点时，即当A、B及球心O共线时，这样的大圆可作无数个．　　［师］生甲只注意到其中的一种情况，漏掉了另一种情况，导致问题分析的不全面、不严谨，

5、以后学习过程中应引起注意．　　接下来，我们再练习一题．　　(打出投影片§9．10．2A，读题)练习：设地球的半径为R，在北纬45°圈上有两个点A、B，A在西经40°，B在东经50°，求A、B两点间的球面距离．　　［师］A、B两点的球面距离，就是球面上两点之间的最短距离，是一段弦，请大家回忆上节课学习的计算A、B两点间的球面距离的一般步骤是什么？　　［生］①计算线段AB的长；②计算A、B对球O的张角∠AOB；③计算大圆劣弧AB的长．　　［师］好，下面请同学们画出这个题目的图形，找出A、B所在位置，按照以上步骤完成A、B两点间的球面距离．　　

6、(请一位同学板书，其余学习练习，教师查看指导)　　解：如图所示：设45°纬度圈中心为O1，地球中心为O，则∠AO1B＝40°＋50°＝90°　　∵　OO1⊥面O1所在平面，　　∴　OO1⊥O1A，OO1⊥O1B．　　∵　A、B在北纬45°圈上，　　∴　∠AOO1与∠BOO1都等于纬度45°的余角45°．　　∴　AO1＝BO1＝R．　　在Rt△AO1B中，AB＝AO1＝R．　　∴　△AOB为等边三角形，　　∴　∠AOB＝．　　∴　＝

7、a

8、·R＝R　　∴　A、B两点的球面距离为R．　　［师］解决这个问题的关键是确定球心角∠AOB．以上解法是将

9、各分散的已知元素和所求元素都集中在较为熟悉的几何体——四面体之中，从而变未知为已知，使问题获解．　　这节课，我们对球继续讨论，讨论球的体积及其在与球有关的相接相切问题中的应用． 　　Ⅱ．讲授新课　　［师］球的体积就是球体所占空间大小的度量，球体积公式的推导过程使用了“分割、求近似和、再由近似和转化为准确和”方法，即先将半球分割成n部分；再求出每一部分的近似体积，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积；最后通过考虑n变到无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积．　　下面，我们一起来体会这种数学思想方法的应用．　　(教师边讲边演示多媒体课件

10、，学生观察、思考)　　［师］由以上的演示过程，我们得到被分成n层的半球的每一层都是近似于圆柱形的“小圆片”．显然，这些“小圆片”的体积之和就是半球的体积．那么如何计算这些“小圆片”的体积呢？