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1、高二数学球的体积一、课型种类：新授课二、教学目标[知识目标]（1）了解球的体积公式V=的推导过程，体会其基本思想：“分割—求近似和----化为准确和”的数学思想；（2）会用球的体积公式V=解决有关问题；(3)几何体的截切问题；[能力目标]（1）培养学生观察、估算、论证能力（2）培养学生了解“分割—求近似和----化为准确和”的数学思想[德育目标]培养学生用普遍联系的观点看问题；三、教学重点球的体积公式的应用四、教学难点球的体积公式的推导五、教学设想：利用构建主义教学理论，循序渐进的教学原则，采用启发探究式教学方法，构建“发现—猜想—实验—类比—论证—应用—引申”过程，促成学生主动建构新知。六、
2、学法指导：通过“球的体积”的教学，不仅要求学生掌握球的体积公式，更要培养学生观察、估算、猜想、类比和论证能力，并注意完善学生的认知结构。七、教具选择：多媒体课件（用flash制作）,自制圆柱、圆锥、半球模型各一个八．教学过程：（一）问题引入：已知球的半径为R，求V球=？（问题引入，激发兴趣）（教师出示flash动画）RRRR[教师]为了计算半径为R的球的体积，可以先计算半球的体积，观察动画1，你能发现，，三个量的大小关系吗？>>(通过类比，让学生目测大小，培养学生的观察能力)[教师]：求出，，并大胆猜想=？=；=，即<<(引导学生猜想，猜想是发现的开始)[教师可以在学生猜想未果的情况下诱导一下
3、：将的系数“1”改为“”，得：<<]学生猜想：=[教师]猜想的结果不一定可靠，做一个实验来验证一下猜想的结果吧！(二)实验过程（实验过程可由教师讲解步骤，学生上台合作完成）取一个半径为R的半球面，再取半径和高都是R的圆桶和圆锥各一个，将圆锥放入圆桶内，再将半球容器装满水，然后把半球内的水倒入圆桶内，发现圆桶恰好被装满。（理、化有实验，数学也可以有实验。以实验验证猜想，体现实证精神，易激发学生探究兴趣）[教师]：你能将实验结果用等式表达出来吗？=-=-=[教师]:由实验结果有=,且::=1:2:3[教师]中学数学是建立在推理的基础上的,实验结果是否可靠还需要论证才行,如何论证呢?教师可以引导学生
4、回忆在平面几何中求圆的周长过程:用正n边形的周长近似圆的周长,当n越大时,正多边形的周长就越接近圆的周长,当n无限大时,正n边形的周长就可以看作是圆的周长.[教师]正是这种“以直代曲”的方法,使我们能够求得圆的周长,我们是否可以对此方法稍加改造,来完成我们求半球体积的过程.(三)论证过程:（学生活动，教师指导）(1)分割把垂直于底面的半径OA作n等分,经过这些等分点用一组平行于底面的平面把半球切割成n层(2)求近似和每层都是近似于圆柱形状的“薄圆片”,这些“薄圆片”的体积之和就是半球的体积.由于“薄圆片”近似于圆柱形状，它的体积近似于相应的圆柱的体积。圆柱的高就是“薄圆片”的厚度，底面就是“薄
5、圆片”的下底面。由勾股定理可得，第层（由下向上数），“薄圆片”的下底面半径是，，∴第层“薄圆片”的体积是，，∴半球体积是=（*）这里要用到自然数平方公式：∴半球的体积①(3)由近似和转化为准确和[教师]:当所分层数不断增加,即n不断变大时,①式的精确程度越来越高,如果n变为无穷大,那么就能由①式推出的精确值,你能求出当n无限增大时右边的结果吗?[学生]:随着n增大,越来越小(例如当n=1000时,=;当n=10000时,=,……)当n变得无穷大时,趋近于0,==.[教师]:因此我们得到了下面的定理:定理:半径为R的球的体积是V=[教师]:为了推出上面的球的体积公式,我们使用了“分割求近似和,在
6、由近似和转化为精确和”的方法,即先将半球分割成n部分,再求每一部分的近似体积,并将这些近似值相加,得出半球的近似体积,最后考虑n变为无穷大的情形,由半球的近似体积推出精确体积,这是一种重要的数学思想方法,后面推导球的表面积公式时,我们将再次运用它.五、知识应用与解题研究例1．有一种空心钢球，质量为，测得外径等于，求它的内径（钢的密度为，精确到）．（利用课件演示）解：设空心球内径为，x则钢球质量为，∴，∴，∴直径，答：空心钢球的内径约为．[巩固练习]：1．球的大圆面积增大为原来的100倍，则体积增大为原来的_1000___倍；2．三个球的半径之比为，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的__2
7、__倍；3．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是4cm，求这个球的体积。[变式引申1]：有三个球，一个切于正方体的各面；另一个内切于正方体的各棱；一球过正方体的各顶点，求这三个球的体积之比。（答案：1：：）[变式引申2]：求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比。（答案：4：6：9）（这两题可以根据教学班的实际情况选讲）六．小结：（可由学生归纳，教师总结）1．球的体积公式的推导及思想；2．球的
