球的体积教案

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1、球的体积教案　　教学目的　　通过“球的体积”的教学，不仅要求学生熟记球的体积公式，更要培养学生观察、估算、猜想、构造和论证能力．并注意完善学生的认知结构．　　[若只要求学生记住有关公式，剩下的就是反复练习——解几个一元方程；已知半径求体积；已知体积求半径，……；这是降低教学要求．]　　教学过程　　师：(板书)已知球的半径为R，求V球=？(出示小黑板——图1．)　　[思维从问题开始．]　　师：为了计算半径为R的球的体积，可以先计算半球的体积V半球．观察图1，你一定能在V圆柱、V半球、V圆锥这三个量之间正确地写上不等符

2、号(学生完成)，得V圆柱＞V半球＞V圆锥．　　[提供类比，让学生目测大小，温故而知新，用以强化认识过程．]　　　　[向“量化”过渡．]　　你能猜测V半球=？　　[引诱学生猜想．猜想是发现的开始！]　　生：……　　　　师：可以大胆一些，准许猜错．　　　　(此答案不一定出自成绩最好的学生，而是胆大者，思维活跃者．)　　　　[既鼓励，又提出更高要求，使学生仍处于激奋境地．]　　(用行动支持敢于大胆猜想的学生．)　　师：我们不妨做一个试验，用以验证这个猜想．　　[理、化有实验，数学也可以有实验．美国盛行“数学实验数学法”，

3、这对激发学生学习兴趣，培养学习能力都十分有利．]　　(取一个半径为R的半球面，再取半径和高都是R的圆桶和圆锥各一个，都是铁皮制成的容器．将圆锥放入圆桶内(图2)，再将半球容器装满细沙，然后把半球内的细沙倒入圆桶内，发现圆桶恰好被装满．)　　师：你能将实验结果用一个等式表达出来吗？　　[鼓励学生将实验结果“量化”(构造一个等式)是十分重要的数学方法．]　　生甲：(板书．)V圆柱－V圆锥=V半球．　　生乙：(板书．)V半球=V圆柱－V圆锥　　师：于是得(板书)　　且V圆柱∶V半球∶V圆锥=3∶2∶1．　　师：中学数学是

4、建立在推理的基础上的，实验结果是否可靠，还要进行论证才行．　　[中学理、化是建立在实验基础上的．用数学工具去证明实验结果，学生兴趣盎然．]　　师：我们现在的任务是证明这个实验结果．或者说，是要证明图2右边充满细沙的几何体与左边充满细沙的半球是等积形．而右边几何体的体积是已知的．(板书．)　　如果再能证明它又符合祖暅原理中的“条件”，我们就可以将它作为半球的参照体了．　　(为了运用祖暅原理，所引入的几何体必须符合两个条件：一是它的计算公式是已知的；二是它符合祖暅原理的条件，即该几何体与原几何体要夹在两个平行平面之间，

5、且用平行于这两个平面的任意一个平面去截时，截得的截面面积总相等，符合以上两个条件的几何体可叫做原几何体的参照体．在前面推导柱、锥的体积的多次教学中应该引用这个术语，让学生熟悉祖暅原理与该术语的关系．)　　该几何体与半球同高(R)，这说明它与半球可以夹在两个平行平面之间，剩下的问题是要证明它与半球的等距截面的面积相等．　　用与底面平行的任一平面去截图2的两个几何体(图3)，截面分别是圆面和圆环R，小圆半径为l，因此　　S圆=πr2=π(R2－l2)，　　S圆环=πR2－πl2=π(R2－l2)，　　所以S圆=S环．　

6、　根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等，即　　　　由此，“猜想”得到证明，可以写成定理形式：　　[从猜想到证明是“质”的升华！是学习数学的最重要的素质．]　　定理：如果球的半径是R，那么它的体积是　　　　师：你准备怎样记忆这个结论呢？　　[不管是意义识记或是机械识记，在这里都是有效的，都是可行的．根据各个学生的学习习惯，不必强求一律．]　　生甲：根据“细沙实验”，　　　　生乙：我只要记住　　V圆柱∶V半球∶V圆锥=3∶2∶1就行了．　　师：还有其他的记忆方法吗？例如，把球体视为拟柱体，采用拟柱体的体积公式试试看．　

7、　[数学教师要不要培养学生的记忆能力，这是有争议的．看来，数学教师有可能，也有必要去培养学生的记忆能力．]　　生：(板演)　　　　　　(随时复习与应用拟柱体体积公式．)　　师：这能作为球体积公式的证明吗？　　生：球体不是拟柱体，不能作为证明，但可以作为一种记忆方法．　　师：还有其他的记忆方法吗？例如，将球体分割成许多小的锥体，球心是这些小锥体的顶点，锥的底面不是平面，而是球面的一小部分(是曲面)请看图4．　　[是重要的数学思想．]　　于是，V球=许多小锥体之和，而这许多小锥体的高可视为球半径R．又因为所有小锥体的底

8、面之和=球面积=4πR2，所以　　　　[发展学生的空间想象能力．]　　同样，这也不能作为球体积公式的证明．但是，使人感到兴趣的是，拟柱体、小锥体与球体的这种“默契”，这种内部的一致，给人们以合谐的感觉，它不仅帮助人们记忆，还给人以和谐美的感受！　　[升华了！]　　师：现在再请大家自己解答一个问题：(板书．)　　[不十分困难的例题由学生自己解答，然后再对照课本